Számítsd ki a 12 cm és 16 cm befogójú derékszögű háromszög beírt körének sugarát?

A legegyszerűbb megoldás, hogyha ismered a következő képletet:

T = r*s, ahol r a beírt kör sugara, s pedig a félkerület, vagyis s=K/2.

A háromszög területét már ki tudod számolni, a kerülethez ki kell számolnod az átfogó hosszát Pitagorasz-tétellel, onnan már pedig meg tudod határozni a beírt kör sugarát.

A háromszög területe: T=a*b/2=96.

[link]

A háromszög átfogója: c=20

A háromszög félkerülete: s=24

[link]

T=r*s

r=T/s=96/24=4

Sokkal egyszerűbb, ha a Thalesz-tétel megfordítását alkalmazod, miszerint derékszögű háromszög köré irhto körének középpontja az átfogo felezőpontja. Vagyis a derékszögű háromszög köré írt körének sugara = az átfogo felével.

Pitagorasz-tétellel kiszámítod át átfogot, majd elosztod kettővel.

Előző visszavonva. látom, hogy a beírt kör kell. Akkor úgy, ahogy előttem írták. Az előzőt tekintsd semmisnek!

Bocsánat!

Csak pár ötlet:

1.)

A derékszögű háromszögben érvényes a következő, könnyen bizonyítható összefüggés:

c = a + b -2r

ahol

a, b - a két befogó

c - az átfogó

r - a beírt kör sugara

Ebből

r = (a + b - c)/2

Az átfogó a Pitagorász tétellel számítható, aztán lehet behelyettesíteni.

2.)

Figyelmesen megszemlélve a megadott két befogó értékét - 12,16 - rá lehet jönni, hogy azok az alap Pitagorászi háromszög (PH 1.0: - 3-4-5) - befogóinak négyszeresei, ezért az példabeli átfogó is annak a négyszerese lesz, vagyis

c = 4*5 = 20.

Lehet behelyettesíteni...

3.)

Ha már rájöttél, hogy a PH 1.0 négyszeresével van dolgod, akkor pillanatok alatt fejben is kiszámolhatod a beírt körének sugarát - (3 + 4 - 5)/2 = 1 -, ezért a hasonlóság miatt a példabeli háromszög beírt körének sugara is a négyszeres lesz, vagyis 4 cm a feladat megoldása.

Számolgatás és behelyettesítés nélkül... :-)