SOS matek egyenletmegoldás segítség?

Grafikusan:

[link]

Kattintgass a "T"-re!

Ez az oldal leírja a teljes megoldást lépésről lépésre.

[link]

Gyökvonást látok, értelmezési tartományt és értékkészletet vizsgálok.

A jobb oldal egyszerűbb, mert

x^2 – 10*x + 27 = (x – 5)^2 – 25 + 27 = (x – 5)^2 + 2,

ami minden x-re értelmes, és az értéke legalább 2.

A bal oldalon a kisebbítendő miatt x ⩾ 1, a kivonandó miatt pedig x ⩽ 5, tehát az értelmezési tartomány

1 ⩽ x ⩽ 5.

Most egy nagyon picit átírom:

√(x–1) + (–1*√(5–x))

Ha megnézzük, az első tag egy szigorúan monoton növekvő függvény, a második tag, amit hozzáadunk, pedig szintén, mert ugyan a √(5-x) szigorúan monoton csökken, de ennek a –1-szeresét vesszük.

Ezzel a bal oldal lehetséges legkisebb értékét úgy kapjuk, hogy x lehetséges legkisebb értékét helyettesítjük, a legnagyobbat pedig értelemszerűen a legnagyobb érték helyettesítésével. Így az értékkészlet (mivel a függvény folytonos, minden értéket felvesz a két szélső érték között) nem lesz más, mint a

[√(1-1) – √(5-1), √(5-1) – √(5-5)] = [–2, 2]

zárt intervallum.

Ha megnézzük, a két oldal értékkészletének egyetlen egy közös pontja van, mégpedig a 2. Azon x-ek adják majd a megoldást, amikre mindkét oldal értéke egyszerre 2. Például a jobb oldalt 2-re megoldva:

(x – 5)^2 + 2 = 2,

x – 5 = 0,

x = 5.

Ez az egyetlen megoldás jön szóba (mert máshol a jobb oldal ugye nem volna 2, más pedig nem lehet), ezt beírva a bal oldalba:

√(5–1) – √(5–5) = 2,

tehát az x = 5 valóban megoldás, más megoldás pedig nincs.