Valami ötlet a feladat megoldására? (Matek)

Ez tipikusan egy olyan feladat, aminek van egy szép geometriai a megoldása, a amire vagy rájössz, vagy nem. Meg lehet sejteni, hogy egy kör lesz (esetleg egy szabályos háromszög) szimmetrikai okok miatt, aztán ezt bizonyítani szépen. Nekem most nem ugrik be semmi konkrét, de biztos lesz irt valaki, aki így is megoldja.

Van viszont egy másik, munkás megoldás az ilyen jellegű feladatokra. Fogod a háromszögedet, és berakod egy koordináta rendszerbe, majd koordinátageometriai módszerekkel megoldod.

Én az A(0,0), B(2a,0), C(a,gyök3) háromszöget választanám, majd egy általános P(x,y) pontra felírnám a négyzetes távolságösszeget, majd ezt egyenlővé tenném egy p paraméterrel. Ezt megoldva kapsz egy diszkussziót a paraméter lehetséges értékeire, majd x és p segítségével y-t kifejezve megkapod a p-tol függő P(x,f(p,x)) megoldáshalmazt, ahol f(p,x) volt a kifejezett y egyenlete (ez nem biztos, hogy függvény).

Legyen A(-a,0), B(a,0), C(0,a*sqrt(3))! A keresett mérani hely tetszőleges pontja P(x,y), a rögzített valós szám v.

Ekkor

PA^2=(x+a)^2+y^2=x^2-2ax+a^2+y^2

PB^2=x^2+2ax+a^2+y^2

PC^2=x^2+(y-a*sqrt(3))^2=x^2+y^2-2*sqrt(3)*ay+3a^2

-------------------------------------------------------------

A feltétel szerint:

3x^2+3y^2-2*sqrt(3)*a*y+5a^2=v

x^2+y^2-2/3*sqrt(3)*a*y+5/3*a^2=v/3

x^2+(y-sqrt(3)/3*a)^2-1/3*a^2+5/3*a^2=v/3

x^2+(y-sqrt(3)/3*a)^2=(v-4a^2)/3

A mértani hely:z

Ha v-4a^2<0, akkor {} (üreshalmaz)

Ha v-4a^2=0, akkor {(0;sqrt(3)/3)} (egy elemű ponthalmaz)

Ha v-4a^2>0, akkor kör, középpont:(0;sqrt(3)/3), sugár: sqrt((v-4a^2)/3)

[link]

Kattintgass a piros "T" gombra!