Reciprokösszeg?

Ha jól értem, a szumma 1/n^2 (n fut 1-től végtelenig) értékére vagy kíváncsi.

Integrálkritériummal mutatható meg, hogy 1/n^alfa akkor és csak akkor konvergens (=az összege egy konkrét szám, és nem pl. végtelen), ha alfa>1, ezért pl. az szumma 1/n sor divergens, de a négyzetszámok és a köbszámok reciprokösszege pl. konvergens. Azt sokkal nehezebb megmutatni viszont, hogy mik ezeknek a numerikus soroknak a pontos összegük. A négyzetek reciprokösszege éppen pi^2/6, ezt a szinusz Taylor-sorából le lehet vezetni.

(A Taylor-sor nagyvonalakban egy nem polinomfüggvény felírása polinomfüggvények végtelen összegeként. Az benne a lényeg, hogy ez a polinomiális összeg éppen előállítja ezt a furcsa függvényt. A szinuszt például tökéletesen előállítja a Taylor-sora: [link] )

Erről itt olvashatsz többet: [link]

A köbszámok reciprokösszege még nehezebb számolást igényel, Apéry-konstans, magyarul itt olvashatsz róla egy mondatot: [link] angolul pedig egy kicsit részletesebben: [link]

Tanulság: viszonylag könnyen belátható, ha egy sor konvergens, de a sorösszeg értéke általában még a konvergencia vizsgálatánál is nehezebb. Persze van, hogy a konvergenciavizsgálat is nehéz, nem azt mondom, de pl. az ilyen polinomfüggvényeknél az integrálkritériumos tétellel belátható.

Ha érdekel még valami, írj!

Üdv