An= 2n^2 +1/ n(n+1) ?

Tehát neked az kell, hogy

|a(n) - A| < epszilon

Beírod a(n) helyére a sorozatot, A helyére a határértéket, ami a 2, az epszilon helyére pedig beírod a 1/100-ot:

|(2n^2+1)/(n(n+1)) - 2| < 1/100

Mivel a sorozat szigorúan monoton növő, ezért a 2-t alulról közelíti, így az ||-en belüli rész biztosan negatív, így ez lesz az egyenlőtlenség:

2 - (2n^2 +1)/(n(n+1)) < 1/100

Szorzunk a nevezővel; mivel a n*(n+1) biztosan pozitív, ezért nem fordul a reláció:

2*n*(n+1) - (2n^2+1) < n*(n+1)/100

Ezt majd levezeted, én most csalok egy kicsit:

[link]

Ha a "Solutions" résznél az "Approximate form"-ot megnyomod, akkor ezt kapod:

n>198,496 vagy n<0,503788

Értelemszerűen nekünk az első kell, ebből pedig az n=199 leolvasható, mint lehető legkisebb megoldás, így ez jó lesz nekünk küszöbszámnak.

Ellenőrzés:

n=198 esetén 2 - ((2*198^2 +1)/(198*(198+1)))=~0,010002, ami több, mint 1/100

n=199 esetén 2 - ((2*199^2 +1)/(199*(199+1)))=~0,09975, ami pedig már 1/100 alatt van.

Tehát az n=199 jó lesz küszöbindexnek, és azt is beláttuk, hogy az a lehető legkisebb.

Nem.

Minden (sor)szám jó küszöbindexnek, ami a fenti egyenlőtlenségnek megoldása.

Általában nem is tudjuk a legkisebbet megmondani (most csak azért sikerült, mert másodfokú egyenlőtlenségünk van, ami még könnyen kezelhető), hanem örülünk, ha egyáltalán egyet találunk, azt is valamilyen becsléssel.