Bizonyítsa teljes indukcióval, hogy n!>=3^n , ha n >=7 ?

Értelemszerűen nem elég, mert ebből nem bizonyítottad, hogy az állítás igaz.

Az indukció bizonyítás "lelke" az, hogy addig variálsz a feladattal, amíg az indukciós feltevés (vagy is amiről biztosan tudjuk, hogy igaz, itt n!>=3^n) valamilyen formában megjelenjen.

Most nincs nehéz dolgunk, csal a faktoriálisnál és hatványozásnál tanultakat kell alkalmazni, így:

(n+1) * n! >= 3 * 3^n

Az indukciós feltevés miatt n! > 3^n. Tudjuk, hogy természetes számkörben ha a>b és c>d, akkor a*c>b*d, vagyis nagyobb számoknak a szorzata is nagyobb, így ha szerencsénk van, és n+1>3 is igaz, akkor igaz lesz a fenti egyenlőtlenség is, így az eredeti is. Ha n+1>3, akkor n>2. Nekünk n>7-re kell belátni, ebbe a tartományba beleesik, tehát kész is a bizonyítás.

Tehát mivel n+1>3 és n!>3^n ha n>=7, ezért (n+1)*n! > 3*3^n, és ezt kellett belátnunk.

A feladat azért szép, mert menet közben azt kaptuk, hogy n>2, tehát azt gondolnánk, hogy ez már n>2-re is igaz. Azonban az indukciós feltevés nem igaz n=3;4;5;6-ra, és ezt is figyelembe kell venni bizonyítás során. Persze ettől még lehetne igaz ott is az egyenlőtlenség, de azokat vagy külön meg kell vizsgálni, vagy másik bizonyítást kell rá találni.

Kérdezz nyugodtan, hogyha valami nem világos, mi miből miért következik.

Ha viszont csak most kezdtélel foglalkozni a teljes indukcióval, akkor egyszerűbb feladatokkal kellene kezdeni. Ez sem annyira nehéz, csak az egyenlőtlenségek tudnak nehezebbek lenni egy egyenlethez képest.