Valaki segítene? Kamatoskamat szàmítàs

Ha mindig az A alaptőkével növeljük az összeget, akkor arra a képlet:

t(n) = A*q*(q^n-1)/(q-1), ahol n az eltelt idő (most évben), q pedig a sorozat kvóciense, ami jelen esetben 1,08. Hogy miért ez a képlet, azt külön kérésre leírom. Helyettesítsünk be:

5.000.000 = A*1,08*(1,08^30-1)/(1,08-1), innen egy egyszerű rendezéssel

A=~40.868, vagyis hogy 30 év múlva 5.000.000 forintot kapjon, évente 40.868 forintot kell befizetnie.

Ellenőrzés: t(30)=40.868*1,08*(1,08^30-1)/(1,08-1)=~5.000.030

A jobb érthetőség kedvéért egy lemmát fogunk felhasználni; ugyanannyi pénzünk lesz akkor is, hogyha egy másik számlát nyitunk, és azon kamatozik a pénz.

Lemma bizonyítás:

Először tegyünk be A forintot, ez kamatozik q-val, tehát A*q forint lesz rajta. Most rakjunk hozzá B forintot, és kamatoztassuk az összeget: (A*q+B)*q = A*q^2+B*q forintunk lesz.

Ha két külön számlára tesszük, akkor

1. számlán két kamatozás után: A*q*q=A*q^2

2. számlán egy kamatozás után: B*q

Összesen: A*q^2+B*q, csodák csodájára ugyanazt kaptuk, tehát az állítás igaz.

Képlet bizonyítása: mivel mindegy, hogy a pénzt ugyanarra a számlára pakoljuk vagy külön számlákat nyitunk mindig, ezért nyissunk új számlát (sokkal áttekinthetőbb lesz). Az első kamatozás után t(1)=A*q forintunk lesz. A következő alkalommal:

1. számla: A*q*q = A*q^2

2. számla: A*q

Összesen: t(2)=A*q^2+A*q

A következő alkalommal:

1. számla: A*q^2*q = A*q^3

2. számla: A*q*q = A*q^2

3. számla: A*q

Összesen: t(3)=A*q^3+A*q^2+A*q

Innen már lehet látni, hogy n idő (és n nyitott számla) után A*q+A*q^2+A*q^2+...+A*q^n forint lesz az összvagyonunk. Látható, hogy a tagok egy mértani sorozat tagjai, melynek első tagja A*q, kvóciense q, így csak be kell helyettesítenünk a mértani sorozat összegképletébe, és így kapjuk a

t(n) = A*q*(q^n-1)/(q-1) képletet.