Az osztalyban csak 13 es 14 eves diakok tanulnak diakok atlageletkora 13,8 diakok es matektanaruk atlageletkora 14,5 Hany diak van az osztalyban hany eves a tanaruk hany 13,14 eves diak van ha 20-nal tobben 40-nel kevesebben vannak az osztalyban?

Ha n diák jár az osztályba, amiből k-an 13 évesek, akkor (n-k) tanuló 14 éves. Ebben az esetben az átlagéletkor:

(k*13+(n-k)*14)/n = 13,8

Ha hozzávesszük a matektanár m életkorát is, akkor az átlag:

(k*13)+(n-k)*14+m)/(n+1) = 14,5

Ez a két egyenlet egyenletrendszert alkot. Értelemszerűen végtelen sok megoldása lesz, de nekünk a pozitív egész megoldások kellenek, ahol n 20-nál több és 40-nél kevesebb.

Az egyenletrendszer megoldását érdemes azzal kezdeni, hogy szortunk a nevezőkkel:

k*13+(n-k)*14 = 13,8*n

(k*13)+(n-k)*14+m) = 14,5*(n+1)

Mivel a két egyenletben minden betű értéke egész, ezért a bal oldalon biztosan egész szám áll, és egy egész szám csak egész számmal állhat egyenlőségben, ennek megfelelően a jobb oldalon is egész számnak kell lennie. Azt kell vizsgálni, hogy n értéke mi legyen, hogy beszorozva az eredmény egész legyen.

Az első egyenletben

n értékei: 25, 30, 35

n+1 értékei: bármilyen páros szám, így n értékei csak a 25 és a 35 lehet.

Tehát az osztálylétszám 25 vagy 35.

Nézzük n=25 esetén mi a helyzet:

k*13+(n-k)*14 = 345

(k*13)+(n-k)*14+m) = 377, ebből látható, hogy m=32, tehát a tanár 32 éves.

Ha n=35, akkor

k*13+(n-k)*14 = 483

(k*13)+(n-k)*14+m) = 522, ebben az esetben m=39, tehát a tanár 39 éves.