Hogyan kell az alábbi feladatot megoldani? Bizonyítsuk be, hogy 𝑝|(𝑝 − 3)! + 2^𝑝−2

Feltételezem, hogy p páratlan prímet jelöl. Ezen feltétel mellett az alábbi módon bizonyítható az állítás:

ha p páratlan prím, akkor relatív prím a 2, p-1, p-2 számok mindegyikéhez, ezért az ezekkel való szorzás után elegendő lenne bizonyítani, hogy

2*(p-1)*(p-2)*((p-3)!) + 2*(p-1)*(p-2)*2^(p-2) osztható p-vel.

Viszont ez utóbbi kifejezés kiszámolva éppen úgy néz ki, hogy

2*(p-1)! + (p-1)*(p-2)*2^(p-1)

A Wilson-tétel szerint (p-1)!+1 osztható p-vel, ezért a 2*(p-1)!-nek a p-vel való osztási maradéka éppen (p-2).

A kis-Fermat-tétel szerint 2^(p-1)-nek a p-vel való osztási maradéka 1, így (p-1)*(p-2)*2^(p-1)-nek a p-vel való osztási maradéka 2, hiszen

(p-1)*(p-2)=(p^2)-3p+2.

Így a maradékok "kiegyenlítik" egymást, hiszen (p-2)+2=p. Ezzel az állítást beláttuk.

Megjegyzés: az állítás összetett számokra nem igaz, ellenpéldaként szolgál már mondjuk a p=4 választás

Ha p=5, akkor

(5-3)!+2^5-2=32, nem osztható 5-tel. Nem igaz az állítás.