Hogyan oldom meg a következő trigonometrikus egyenletet?

Felteszem, hogy ez szeretne lenni az egyenlet:

tg(x) = 2*sin(x) + 3

Kezdjük ott, hogy a tg(x) miatt x értéke nem lehet pi/2 + k*pi, ahol k egész, mivel ezen a számhalmazon nem értelmezhető a tangens.

Tudjuk, hogy tg(x)=sin(x)/cos(x), így az egyenlet:

sin(x)/cos(x) = 2*sin(x) + 3

Most egy indokolatlannak tűnő, ám annál hasznosabb lépés következik; négyzetre emelünk:

sin^2(x)/cos^2(x) = 4*sin^2(x) + 6*sin(x) + 9

Ismert az az azonosság is, hogy sin^2(x)+cos^2(x)=1, ebből cos^2(x)=1-sin^2(x)-et kapjuk, amit be tudunk írni:

sin^2(x)/(1-sin^2(x)) = 4*sin^2(x) + 6*sin(x) + 9

A jobb átláthatóság kedvéért lecserélhetjük a szinuszt egy másik betűre, mondjuk z-re; legyen sin(x)=z:

z^2/(1-z^2) = 4*z^2 + 6*z + 9, szorzunk a nevezővel:

z^2 = 4*z^2 + 6*z + 9 - 4*z^4 - 6*z^3 - 9*z^2

Összevonás és 0-ra rendezés után:

0 = 4*z^4 + 6*z^3 + 6z^2 - 6*z - 9

Ez egy negyedfokú egyenlet, ami ugyan megoldható megoldóképlettel, de a megoldásai nem lesznek szépek, ráadásul ezekre még szöget is vissza kell számolni.

Biztosan ez az egyenlet?

Vagy grafikus megoldás:

[link]

A periódus 2Pi.