Oldjuk meg az egész szamok halmazán az egyenletet!??????

Egy egyenlet két ismeretlennel nem ad egzakt eredményt.

Azonban, ha csak azt vizsgáljuk, lehet-e ennek egyáltalán megoldása, akkor a következők állapíthatók meg:

a) 45y esetén ha y egész szám, akkor a keletkezett szorzat vagy 5-re vagy 0-ra végződik

b) 102x esetén ha x egész szám, akkor a keletkezett szorzat utolsó számjegye 0, 2, 4, 6 vagy 8.

Ebből megállapítható, hogy csak akkor végződhet a két szám összege 3-as számjegyre, ha 102x 8-ra végződik, míg 45y pedig 5-re.

Látható továbbá, hogy 102-45=57, ami 53-mal osztva 4 maradékot kap, amivel 53 soha nem lesz osztható maradék nélkül, így az egyenletnek nincs megoldása az egész számok halmazán.

Általánosan egyébként elmondható, hogy az

Ax + By = C

alakú lineáris diophantoszi egyenletnek csak akkor nincs megoldása, hogyha A-nak és B-nek a legnagyobb közös osztója nagyobb, mint az A, B és C számok legnagyobb közös osztója, vagyis

lnko(A;B) > lnko(A;B;C) esetén nincs megoldás, egyébként pedig van.

Még általánosabban; az

A_1*x_1 + A_2*x_2 + ... + A_n*x_n = C

alakú lineáris diophantoszi egyenletnek csak akkor nincs megoldása, hogyha

lnko(A_1;A_2;...;A_n) > lnko(A_1;A_2;...;A_n;C), egyébként van.