Miért nem működik?

Az osztók száma a prímtényezős felbontásban szereplő kitevőknél eggyel nagyobb számok szorzata. A 12 esetén: (2+1)*(1+1)=6.

A módszered a prímtényezők lehetséges sorrendjeinek számát adja.

Jól látod, a bal oldalnak párosnak kell lennie. Ez akkor valósul meg, hogyha x;y paritása megegyezik, tehát vagy mindkettő páros, vagy mindkettő páratlan.

Ha mindkettő páros, akkor megtehetjük ezt az átírást; x=2k, y=2l, ahol k;l egészek, ekkor:

(2k)^2 - (2l)^2 = 2*(2k)*(2l)*z, elvégezzük a szorzásokat:

4k^2 - 4l^2 = 8*k*l*z, osztunk 4-gyel:

k^2 - l^2 = 2*k*l*z, ezzel ugyanazt az alakú egyenletet kaptuk meg, amire újra elvégezhető a lépés, és újra, és újra, és így a végtelenségig. Ez azt jelenti, hogy az eredeti x;y számok "végtelenszer" kell, hogy legyenek oszthatóak 2-vel, ilyen számot pedig csak 1-et ismerünk, és az a 0. Tehát ha x;y páros, akkor x=y=0, ekkor z értéke tetszőleges egész.

Ha x;y páratlan, akkor x=2k+1 és y=2l+1, ahol k;l egészek, ekkor

(2k+1)^2 - (2l+1)^2 = 2*(2k+1)*(2l+1)*z, ebből viszont -nekem eddig- semmi jó nem jött ki. Majd még gondolkodom.

Ha nagyon nincs ötletünk, akkor másodfokú egyenletre lehet variálni a feladatot. Nem egy elegáns megoldás, de legalább van esély arra, hogy eredményünk lesz;

0 = x^2-x*(y+1)+y^2-y

Erre felírjuk a másodfokú egyenlet megoldóképletét, x-et kezeljük ismeretlenként:

x1;2 = ( -(y+1) +- gyök[(y+1)^2-4*1*(y^2-y)] )/(2*1)

Először a gyökjel alatti részt kell letudnunk. Vonjunk össze, amennyire csak lehet:

= y^2 + 2y + 1 -4y^2 + 4y = -3y^2 + 6y + 1

Ennek kell négyzetszámnak lennie, azonban nézzük meg, hogy ez mikor lesz legalább 0 (ugyanis csak akkor vonható belőle gyök):

-3y^2 + 6y + 1 >= 0, én most megspórolom a számolást:

[link]

A "Solutions" résznél az "Approximation form"-ra nyomva ezt kapjuk:

-0,154701<=y<=2,1547, tehát y lehetséges értékei: 0,1,2.

Szerencsére nem sok lehetőséget kaptunk, ezeket nyugodt szívvel végig lehet próbálgatni.

Mint írtam, ez a "nem elegáns" megoldások közé tartozik, de ugyanolyan értékű megoldás, mint azok, amik valamilyen számelméleti megközelítésre épülnek.