Ponthalmaz feladat?

57. Ha A\B átírható úgy, hogy A\(AmetszetB) (mivel ha a metszetükön kívül is van elem B-ben, az nem befolyásolja a kivonást), így ha ez ={}, akkor A=AmetszetB, tehát minden A-beli elem B-ben is benne van, így A definíció szerint részhalmaza B-nek. Ha A-nak nincs eleme, akkor A üreshalmaz, ami szintén részhalmaz, de az is előfordulhat, hogy A=B, és ekkor is fennáll a reláció.

58. Nem kell, hogy végesek legyenek. Például:

A:={Prímszámok}

B:={Összetett számok}

C:={Irracionális számok}

Mindhárom halmaz végtelen, mégis igaz az egyenlőség.

A válasz a kérdésre: az A;B;C halmazok páronként diszjunktak, ami pont azt jelenti, hogy nincs közös elemük, vagyis metszetük az üreshalmaz.

A 61-es feladatot valószínűleg nem sikerült felfognod.

Az eredmény egy olyan négyzet, melynek négy csúcspontja: (-1;-1), (-1;1), (1;1), (1;-1).

Az 52-es és az 54-es jó.

Az 53-asnál külön-külön le kell írni, hogy az X;Y;Z „értékétől” függően mik lehetnek ezek hármas metszetének eredményei. Mivel mindegyikre 2-2-2 választási lehetőség van, ezért összesen 8-féle kimenetel lehet.

AmetszetBmetszetC = 2-vel és 3-mal és 6-tal osztható természetes számok = 6-tal osztható számok, ami a C halmaz.

komp(A)metszetBmetszetC = 2-vel nem osztható, de 3-mal és 6-tal osztható természetes számok, ilyen szám nyilván nincs, tehát ez üreshalmaz, amit a feladat nem enged meg, tehát ez egy „hamisgyök”.

komp(A)metszetkomp(B)metszetC = 2-vel és 3-mal nem, de 6-tal osztható természetes számok, tehát szintén üreshalmaz lesz.

És így tovább.

Mivel speciálisan AmetszetB=C, ezért okos meggondolással ki lehet zárni bizonyos eseteket, amiket nem kell felírnunk; ha C teljesül, akkor A és B is, ha pedig C nem teljesül, akkor A és B sem (máskülönben az eredmény mindig üreshalmaz), tehát a két atom ebben a feladatban a 6-tal osztható és 6-tal nem osztható számok, vagyis a C és a komp(C) halmazok.

Rosszul értelmezed. Itt nem szorzás van. Az AxB úgynevezett Descartes-szorzat, ami azt jelenti, hogy az A és B halmaz elemeit a lehető összes módon párba rendezi egy halmazba (ami az AxB halmaz).

[link]

Például, ha

A:={1;2;3} és B:={4;5;6}, akkor AxB={(1;4) ; (1;5) ; (1;6) ; (2;4) ; (2;5) ; (2;6) ; (3;4) ; (3;5) ; (3;6)}

Magyarra lefordítva; ugyanaz a feladat, mint ami az ilyen jellegű feladatoknál korábban volt, vagyis a koordináta-rendszerben jelölöd a megfelelő síkrészeket, és azoknak kell a metszete:

[link]

Így van, a direktszorzat (általában) nem kommutatív; AxB esetén előbb az A halmazból kell venni az elemeket, BxA esetén a B halmazból.

Bónusz kérdés: mikor lehet kommutatív a direktszorzat? Vagyis milyen A=/=B-re fog AxB=BxA teljesülni?