Differenciálegyenletekben segítene valaki?

Ez elsőrendű lineáris, mert

y'(x)=a(x)*y(x)+b(x) alakú (ahol a(x)=-2, b(x)=4x^2+12).

A megoldáshoz: standard ötlet, hogy szorozzuk mindkét oldalt ugyanazzal a g(x) függvénnyel:

y'(x)*g(x)=2g(x)*y(x)+g(x)*(4x^2+12), azaz

y'(x)*g(x)-2g(x)*y(x)=g(x)*(4x^2+12).

Azt szeretnénk elérni, hogy a bal oldalon alkalmazható legyen a szorzatra vonatkozó differenciálási szabály. Ezért célszerű olyan g(x)-et választani, hogy g'(x)=-2g(x) teljesüljön. Tehát jó választás például a

g(x)=e^(-2x).

Azaz úgy írjuk át az egyenletet, hogy

y'(x)*(e^(-2x))-2y(x)*(e^(-2x))=( e^(-2x))*(4x^2+12).

A bal oldal éppen y(x)*(e^(-2x)) deriváltja, a jobb oldalnak kellene meghatározni egy primitív függvényét. Ez papíron parciális integrálással megy, most beírtam egy online kalkulátorba:

-(2x^2+2x+7)*e^(-2x) lesz egy primitív függvény, tehát az eredeti egyenlet ekvivalens alakja

(y(x)*(e^(-2x)))’ = (-(2x^2+2x+7)*e^(-2x))’.

Innen az következik, hogy

y(x)*(e^(-2x))- (-(2x^2+2x+7)*e^(-2x)) = c konstans függvény, azaz

y(x) = (c-(2x^2+2x+7)*e^(-2x))/ (e^(-2x).