Tudnátok segíteni egy emelt matek érettségi feladatában?

d=0 1111, 2222, ..., 9999 - 9 db

d=1 1234, 2345, ..., 6789 - 6*4! db

d=2 1357, 2468, 3579 - 3*4! db

#1 neked hogy jönnek ki a szor négyek?

Nem 4!-ral kéne szorozni?

Először nézzük a nem csökkenőket (d>=0).

Ha az első egy x, akkor a negyedik jegy x+3d. Nyilván ez legfeljebb 9, tehát

x+3d <= 9, kivonunk 3d-t:

x <= 9-3d

Mivel x pozitív, ezért a 9-3d-nek is pozitívnak kell lennie, tehát

0 < 9-3d, rendezés után

d < 3, tehát a sorozat differenciája 0;1;2 lehet.

Azt azért tudjuk, hogy ha az első tag egész, a differencia meg nem, akkor a sorozat szomszédos tagjai nem egészek. Ezek alapján össze lehet szedni az eseteket:

Ha d=0, akkor 1111 2222 3333 4444 5555 6666 7777 8888 9999, ez 9 lehetőség

Ha d=1, akkor 1234 2345 3456 4567 5678 6789, ez 6 lehetőség

Ha d=2, akkor 1357 2468 3579 ez 3 lehetőség

A nem csökkenő esetben 9+6+3=18 szám van. A csökkenőket úgy kapjuk, hogy a d=1 és d=2 esetben kapott számokat megfordítjuk, így további 6+3=9 lehetőség van, összesen tehát 9+18=27 szám van.

Ja, hogy "valamilyen sorrendben"... Akkor csak 4!-sal kell szorozni azokban az esetekben, amikor különböző számok vannak, ahogyan az 1-es válaszoló csinálta.

Egyébként melyik részét nem érted a megoldókulcsnak?

A számtani sorozat első eleme 1 vagy annál nagyobb, negyedik eleme pedig 9 vagy annál kisebb, hiszen egy szám számjegyeiről van szó. Minden elem egész szám, hiszen számjegyekről beszélünk, és az elemek különbsége (d) is egész.

Ha számtani sorozatról van szó, akkor x4=x1+3d, ahol x1>=1, x4<=9. Ebből következik, hogy d<=8/3, azaz d=1 vagy d=2.

Ha d=2, akkor a következő sorozatok jöhetnek szóba:

1,3,5,7

2,4,6,8

3,5,7,9

Ha d=1, akkor a lehetséges sorozatok:

1,2,3,4

2,3,4,5

...

6,7,8,9 (összesen 6 ilyen van)

Van tehát összesen 6+3=9 számnégyesed.

Most már csak azt kell meghatározni, hogy hány négyjegyű számot tudsz felírni négy különböző számjegyből - ez kombinatorikai alapfeladat. Az első számjegynek bármelyiket választhatod (4 lehetőség). A másodikat már csak 3 közül választhatod ki, mert 1 számjegyet elhasználtál az első számjegyre. Hasonlóan a harmadik számjegyet 2 közül választhatod, az utolsó pedig csak az az 1 lehet, amelyik marad. Összesen 4*3*2*1 = 4! (faktoriális) = 24 négyjegyű számot tudsz felírni négy különböző számjegyből.

Van 9 számnégyesed, mindegyikből 24 számot tudsz felírni, úgyhogy az eredmény 9*24=216.

Két fontos dolgot kihasználtunk a megoldás során. Az egyik az, hogy a számnégyesek mind különböznek, azaz nem tudunk két olyat találni, amiben mind a négy számjegy azonos lenne. Nyilván a d=2-höz és a d=1-hez tartozó sorozatok különböznek (hiszen a szomszédos számok különbsége más), ezen belül pedig más-más x1-et választottunk, úgyhogy az összes d=1-hez illetve d=2-höz tartozó sorozatban is van olyan elem, amelyik a többiben nincs benne.

Emellett éltünk azzal a feltételezéssel, hogy d>0. Egy számtani sorozatban lehet negatív a különbség, de pl. az 1 2 3 4 sorozat (d=1) ugyanazokat az elemeket tartalmazza, mint a 4 3 2 1 sorozat (d=-1), így a felírható négyjegyű számok tekintetében azonosak.