Számelmélet? ????

A második jó.

Az elsőnél először azt döntsd el, hogy a válasz valószínűleg igen vagy nem. Keress egy x-et és egy y-t, amire 17|20x-11y, és próbáld ki, hogy ugyanezekre osztja-e a 46x+7y-t! Ha nem, akkor már kész is vagy (de azért ellenőrizd le kétszer, hogy jól számoltál-e). Ha nem, akkor gyanús, hogy ez nem véletlen, és meg kell próbálni bizonyítani, hogy ha a 17 osztja az egyiket, akkor osztja a másikat is. Ránézésre nem látom, mi fog eredményre vezetni, de valószínűleg azt kell kihasználni, hogy ha a 20x-11y többszöröse a 17-nek, akkor kivonhatod vagy hozzáadhatod a 46x+7y-hez, utóbbi vagy továbbra is a többszöröse kell legyen, vagy továbbra se lesz az. Nem tudom, érthetően fogalmaztam-e.

A 2. megoldás jó.

17|20x-11y=17x-17y+3x+6y=

=17(x-y)+3(x+2) => 17|x+2y

46x+7y=34x-17y+12x+24y=

=17(2x-y)+12(x+2y)

Mindkét tag osztható 17-tel.

Az elsőnél mégse olyan rossz irány, amit írtál, föl lehet használni. Viszont ennél kicsit részletesebben kell leírni a gondolatmenetet, ha az összes pontot meg akarod kapni (szigorúbb helyeken meg ha pontot akarsz kapni egyáltalán). Szóval ha azt akarjuk bizonyítani, hogy ha az elsőt osztja a 17, akkor a másodikat is osztania kell, akkor:

Ha 17|20x-11y=17(x-y)+3(x+2y), akkor 17|x+2y.

Ezután, a 17 pontosan akkor osztja 46x+7y-t, ha 46x+7y-(x+2y)-t is, valamint ezt a lépést ismételve 46x+7y-(x+2y)-(x+2y)-t is stb. Mert mindig olyat vonunk le, amit oszt a 17, így az oszthatóságot nem változtatjuk.

Ezt vajon tudnád valamire használni? Szerintem megoldásra vezet, bár nem számoltam végig.

Figyelj még oda arra, hogy rosszul fogalmaztál, nem "x+2y osztoja legyen 17-nek", hanem fordítva. Ez fontos, egész mást jelent a kettő.

Az ilyen jellegű feladatoknál két lehetőség van vagy nem igaz, akkor lehet ellenpéldát találni (és ha szerencséd van, találsz is), ha pedig igaz, akkor kénytelen vagy bizonyítani.

Első körben mindenki a próbálgatással kezdi, aztán feladja, úgyhogy ezt most ugorjuk át. Tegyük fel, hogy az állítás igaz, vagyis ha 17|(20x-11y), akkor szükségszerűen 17|(46x+7y).

Első körben, csak hogy a saját életünket egyszerűbbé tegyük, csökkentsük/növeljük a kifejezést olyan kifejezésekkel, amikről biztosan tudjuk, hogy 17-tel oszthatóak (például 17x, 17y, 34x, 34y, stb.) , így az 17-tel való oszthatóság nem fog változni. Így lesz a (20x-11y)-ból 3x+6y, a (46x+7y)-ból 12x+7y.

Ezután használhatjuk az "egyenlő együtthatók módszerét"; mivel a 17 prímszám, ezért ha nem a 17-nek egész többszörösével szorzunk, akkor a 17-tel való oszthatóság és "nem"oszthatóság nem sérül. Szorozzuk meg az első kifejezést 4-gyel, így a 12x+24y-t kapjuk.

Ha két 17-tel osztható számot kivonunk egymásból, akkor az eredmény is osztható lesz 17-tel, ha pedig az egyik osztható a másik nem, akkor nem lesz osztható. Kivonás után azt kapjuk, hogy 17y, ez pedig minden körülmények között osztható 17-tel. Mivel az első kifejezés feltevés alapján osztható 17-tel, az eredmény is, ezért a kivonandónak is oszthatónak kell lennie 17-tel.

Ez azt jelenti, hogy az eredeti állítás igaz volt, tehát ha 17|(20x-11y), akkor 17|(46x+7y) is igaz. Egy példát azért illik adni, hogy ez azért előfordulhat valóban; ha x=5 és y=6, akkor 20*5-11*6=34, ami osztható 17-tel, 46*5+7*6=272, ami szintén osztható 17-tel.