Matematikában hogyan kell teljes négyzetté alakítani az egyenletet?

x^2 - 8x + 7 = 0

I. lépés: ismerjük az (a +/- b)^2 azonosságot, nekünk az (a-b)^2 kell, ahol 'a' az x és 'b' egy valós konstans. Írjuk be: (x-b)^2 = x^2 - 2xb + b^2

Látjuk, hogy megvan az x másodfokú tagja, valamint van egy olyan tag, amiben elsőfokon szerepel az x, ez az x és b kétszeres szorzata.

a fenti példában: -2xb = -8x , innen xb=4x , ahonnan b=4 (x nemnulla)

Így az egyenletünk (x változó) : (x-4)^2 de ez még nem stimmel egészen, mert az a^2 - 2ab + b^2 összefüggés szerint: x^2 - 8x + 16 az eredmény, ezért ki kell vonnunk 9-et, hogy x^2 -8x + 7 eredményt kapjuk.

Így: (x-4)^2 -9 alakítást kapjuk, ahol szintén felfedezni vélünk egy nevezetes azonosságot, mégpedig két négyzetszám különbségét

( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) )

Vagyis: [(x-4)-3]*[(x-4)+3] = (x-7)(x-1) szorzat alakra hoztuk.

A fenti egyenletben a baloldal bullával egyenlő, így:

(x-7)(x-1)=0, egy szorzat akkor nulla, ha legalább egyik tényezője az, így: x=7 vagy x=1 megoldásokat kapjuk. Behelyettesítéssel ellenőrzünk.

Szerintem a teljes négyzetté alakítás csak ennyi:

ax^2+bx+c=a(x^2+(b/a)*x)+c=a(x+b/2a)^2+c-(b/a)^2

4: ha neki jobb egy képletet bemagolni, felőlem aztán...

majd valaki megkérdezi szerencsétlentől, hogy "Oké, de miért van ez így?" akkor majd áll ott tátott szájjal.

#5

Igazad van. Nem árt még hozzá egy kis szöveges magyarázat.

1. Emeljük ki az x^2 együtthatóját az egyenlet elé.

2. x^2 helyébe írjunk (x+d)^2-et, ahol d az x-es tag együtthatójának a fele.

3. Ha elvégeznénk a négyzetre emelést, akkor x^2 és x együtthatója már rendben lenne, csak a többlet d^2-et kell levonni a konstansból.