Tudnátok segíteni ebben a két függvénysoros feladatban?

Gyakorlatilag a kérdés az, hogy milyen x-ekre lesznek ezek a "végtelen tagot tartamazó összegek" (sorok) konvergensek.

Az elsőnél nincs nehéz dolgunk, ugyanis ha felírod a tagokat, akkor azt veheted észre, hogy az összeg tagjai mértani sorozatot alkotnak, annak pedig ismert az összegképlete;

a sor tagjai: 1 + ((x+2)/(x-1)) + ((x+2)/(x-1))^2 + ((x+2)/(x-1))^3 + ...

A sor első tagja a1=1, kvóciense q=((x+2)/(x-1)), így az összegképlet felhasználásával:

S(n) = 1 + [((x+2)/(x-1))^n - 1]/[((x+2)/(x-1))-1]

Viszont ebben az összegben n=1-től kezdődik az indexelés, nekünk viszont n=0-tól kellene, hogy működjön ez a dolog, emiatt egy kicsit machinálunk rajta:

S(n) = 1 + [((x+2)/(x-1))^(n-1) - 1]/[((x+2)/(x-1))-1]

Most az a kérdés, hogy ha n->végtelen, akkor mikor lesz ez az összeg valami konvergens szám. Szerencsére azt tudjuk magabiztosan, hogy mértani sor csak úgy tud konvergens lenni, hogyha kvóciense szigorúan -1 és 1 közé esik, tehát ezt az egyenlőtlenséget kell megoldanunk;

-1 < ((x+2)/(x-1)) < 1, ezt nem olyan nagyon bonyolult megoldani;

x < -1/2, tehát a konvergenciatartomány a (-végtelen;-1/2) intervallum. Illetve még abból lehet probléma, hogyha x=-2, ugyanis a 0^0 az bajos. Hogy ezzel mit kezdtek, illetve hogyan tárgyaljátok, azt passzolom. De abból talán nem lesz nagy baj, hogy abban az egy esetben nem 0-tól indexeljük az összeget, hanem 1-től, ekkor minden tag 0, így az összeg is.

A másodikat egyelőre passzolom.

Röviden: ha egy sorozat egy bizonyos idő után szigorúan monoton és konvergens, akkor van arra esély, hogy a tagok összege is konvergens legyen. Szemmel láthatóan a sorozat tagjai konvergensek x>=1-re, mivel a faktoriális nagyságrendje nagyobb, mint a számlálóé. Ha egy ilyen sort egy bizonyos tagja után „be tudjuk szorítani” két konvergens sor közé, akkor az eredeti is biztosan konvergens lesz (csendőrelv sorokra). A nevezőben lévő faktoriális miatt azt is lehet sejteni, hogy a sorozatnak a valós számok halmaza lesz a konvergenciatartománya, tehát két olyan sorozatot kellene keresni, amelyeknek konvergenciatartománya x>=1 (mivel most azt vizsgáljuk). Az alsó csendőr kézenfekvő, az legyen a sum(0) sor. A másik csendőrnél vakarhatjuk a fejünket, hogy mi lenne jó, azonban ha már az előbbi feladatot megoldottuk, akkor nézzük meg, hátha az jó lesz nekünk csendőrnek. Arról a sorozatról azt tudjuk, hogy konvergenciatartománya x<-1/2 volt, nekünk viszont x>1 kellene. Szerencsére ha csak megmínuszozzuk az x-et, akkor máris x>-1/2 lesz a konvergenciatartománya, amiben benne van az x>1, tehát a sum(((-x+2)/(-x-1))^n) sorozattal próbálkozunk. Nézzük meg, hogy erre igaz lesz-e, hogy tetszőleges x>1-re lesz-e olyan tag, amelytől kezdve ennek a tagjai nagyobbak lesznek;

n*3^n*(x-1)^n/(n+1)! < ((-x+2)/(-x-1))^n, vonjunk n-edik gyököt;

ennedikgyök(n)*3*(x-1)/ennedikgyök((n+1)!) < (-x-2)/(-x-1)

Láthatóan a bal oldal eléggé 0-hoz konvergál ha n->végtelen (itt hivatkozunk a korábban tanultakra, vagyis ennedikgyök(n) a 0-hoz konvergál a végtelenben, ennedikgyök(n!) pedig a végtelenbe), a jobb oldal pedig nem függ n-től, tehát annak értéke valami pozitív konstans (attól függően, hogy x helyére mit írunk). Tehát ez az egyenlőtlenség biztos, hogy végtelen sok n-re igaz lesz egy valamilyen n-től kezdve, esetleg véges sok n-re nem. De az nem baj, mert véges sok szám összege véges, tehát konvergens, a „maradék” végtelen szám összege pedig az előző okfejtések alapján konvergens lesz, és ezek összege is konvergens. Tehát ha x>1, akkor a sor konvergens.

Ha x=1, akkor triviálisan konvergens.

Ha x<1, akkor olyan problémákba ütközünk, hogy minden páratlanadik tagja negatív lesz, tehát maga a sorozat nem lesz szigorúan monoton. De megtehetjük azt, hogy a sorozatot szétszedjük két (vagy több) szigorúan monoton konvergens sorozatra, és azokat külön vizsgáljuk.

Első sorozat: ahol n páros. Ebben az esetben hivatkozhatunk arra, hogy minden x<1-re létezik pontosan egy darab x>1, amelyre a tagok megegyeznek az x>1 tárgyalásból. Például ha x=0,5, akkor (0,5-1)^n=(-0,5)^n, ennek a párja a (1,5-1)^n=(0,5)^n; mivel n páros, ezért (-0,5)^n=(0,5)^n. Tehát a sorozat tagjai visszavezethetőek az x>1 esetre, így a tagok összege itt is konvergens lesz.

Második sorozat: ahol n páratlan, tehát minden tag negatív lesz. Mivel összegről van szó, ezért megtehetjük azt, hogy mindegyik tagból kiemeljük a negatív előjelet; sum(-akármi)=-sum(akármi), így viszont az összegben már csak pozitív tagok lesznek, amik ugyanúgy viselkednek, mint a korábbi sorozat tagjai, tehát ez a sor is konvergens lesz.

Nyilvánvaló okokból konvergens sorok összege is konvergens, tehát x<1-re is konvergens sort kapunk.

Ezzel beláttuk, hogy a sor konvergenciatartománya a valós számok halmaza.