Matek háziban segtség?(Függvény határérték számítás (trigonometrikus határérték))

tq(7x)/sin(4x)=sin(7x)/cos(7x)/sin(4x)=

=(sin(7x)/(7x))*((4x)/sin(4x))*7/4/cos(7x)

Csak hogy értsd is; azt tanultátok, hogy lim(x->0) sin(x)/x = 1, általánosan pedig tetszőleges nem nulla valós k-ra lim(x->0) sin(k*x)/(k*x) = 1. Például lim(x->0) sin(126x)/(126x) = 1.

Először a tangenst bontsuk fel a tg(x)=sin(x)/cos(x) azonosság szerint;

sin(7x)/cos(7x)/sin(4x)

Mivel cos(0)=1, és 1-gyel osztva nem történik semmi, ezért a határérték szempontjából ki is vehetjük a történetből, így csak a

sin(7x)/sin(4x) törttel kell foglalkoznunk. A fent említett szabályt kellene felhasználni, ehhez a sin(7x)-et 7x-szel, a sin(4x)-et 4x-szel kellene elosztanunk. A jobb érthetőség kedvéért; a tört bármivel bővíthető, és mivel az eredeti kifejezés egyébként x=0-ban nem értelmezhető, az x-szel való bővítéssel ez nem változik, ezért "jó bővítésnek" számít (esetünkben az a jó bővítés, ami az x=0 környezetét meghagyja, máskülönben nem lehetne határértéket számolni).

Tehát itt tartunk;

sin(7x)/x / sin(4x)/x

A főtört számlálójának nevezőjéből már csak a 7-es szorzó hiányzik, a nevező nevezőjéből pedig csak a 4-es, tehát bővítünk 7-tel és 4-gyel;

(7*sin(7x))/(7x) / (4*sin(x))/(4x)

A tanultak szerint kihozzuk előre a 7-es és a 4-es szorzót;

7*[sin(7x)/(7x)] / 4*[sin(4x)/(4x)]

A szögletes zárójelben lévő kifejezések olyan alakúak, mint amiket az elején megállapítottunk, tehát ezek 1-hez tartanak, tehát marad:

7*1 / 4*1 = 7/4, és ez a határérték.

A másodikat próbálom dekódolni;

(1-gyök(cos(2x)))/(3x^2), és feltételezem, hogy itt is x->0.

Ahogy (majdnem jól) írtad, használjuk az addíciós tételt;

cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x), tehát

(1-gyök(cos^2(x)-sin^2(x)))/(3x^2), viszont itt is tovább tudunk menni; ismerjük azt az azonosságot, hogy

sin^2(x)+cos^2(x)=1, ebből rendezés után cos^2(x)=1-sin^2(x), és ezt tudjuk beírni a cos^2(x) helyére. Azért a koszinuszt cseréljük le, mert így a szinusz megmarad, így a sin(x)/x-es határérték talán használható lesz. Tehát:

(1-gyök(1-sin^2(x)-sin^2(x)))/(3x^2), összevonás után

(1-gyök(1-2*sin^2(x)))/(3x^2)

Bontsuk szét a törtet két tört különbségérére:

1/(3x^2) - gyök(1-2*sin^2(x))/(3x^2)

A második törtben a tanultak szerint az egyik x-et bevisszük a gyökjel alá, ekkor ez lesz belőle:

gyök(1-2*sin^2(x))/(3x^2) = gyök(1-2*sin^2(x))/(3|x|*gyök(x^2)) = gyök[(1-2*sin^2(x))/x^2]/(3|x|) gyök[(1/x^2 - 2*sin^2(x))/x^2]/(3|x|), így a számlálóban megjelent a sin(x)/x alak, aminek a határértéke 1, így már csak ennek kell vizsgálni a határértékét:

1/(3x^2) - gyök(1/x^2 - 2)/(3|x|)

Innen pedig az átalakításokkal kijön már a határérték.

A 2.-ban bővítés 1+sqrt(cos(2x))-szel. Ebből kapható, hogy

(1-cos(2x))/(3x^2)/(1+sqrt(cos(2x)))=

=(1-cos^2x+sin^2x)(3x^2)/(1+sqrt(cos(2x)))=

=2/3*(sin(x)/x)^2/(1+sqrt(cos(2x))) -> 2/3*1/3=1/3

Bocs! Elírtam.

2/3*1/2=1/3