Statisztika, egyenes egyenlete?

Itt van egy lehetséges módszer leírva:

[link]

Azt csak Te tudod, hogy Ti milyen módon csináltátok.

Először megkeresed a pontfelhő "középpontját", amin a keresett egyenes áthalad, amit definíció szerint a pontok koordinátáinak átlaga ad;

középpont x koordinátája: (-1+1+8+2)/4 = 10/4 = 2,5

középpont y koordinátája: (2+1+(-3)+4)/4 = 1

Tehát a keresett egyenes biztosan áthalad a (2,5 ; 1) ponton.

Alapvetően y=mx+b alakban keressük az egyenest, viszont ez az egyenes áthalad a (2,5 ; 1) ponton, tehát behelyettesítünk:

1=m*2,5+b, itt vagy m-et, vagy b-t, amelyik szimpatikusabb, kifejezzük. Most legyen a b, mert akkor nem kell osztani;

1-2,5m=b, ezt behelyettesítve a keresett alakban b helyére: y=mx+(1-2,5m), tehát

y = (x-2,5)m + 1

Itt érdemes egy észrevételt tenni; ha kivonunk 1-et:

y-1 = (x-2,5)m, akkor azt kapjuk, hogy az eltolásnál kapott módszerrel is meg lehet kapni a keresett alakú függvényt, tehát kb. ránézésre meg lehet mondani a keresett függvény alakját. Ha ezt esetleg nem érted, kifejtem jobban.

De térjünk vissza az y=(x-2,5)m+1 függvényhez. Alapvetően mindig x->y hozzárendelést használunk, tehát x függvényében kapjuk meg az y értékeket. Az y=(x-2,5)m+1 esetén is így van, tehát az ismert pontok első koordinátáit kell x helyére írnunk, hogy az értéket megkapjuk;

(-1;2) esetén x=-1: y = (-1-2,5)m + 1 = -3,5m+1, tehát a keresett függvény pontja az x=-1 helyen: (-1 ; -3,5m+1), értelemszerűen m-től függően.

(1;1) esetén x=1: y = (1-2,5)m + 1 = -1,5m+1, tehát a keresett függvény pontja az x=1 helyen: (1 ; -1,5m+1).

(8;-3) esetén x=8: y = (8-2,5)m + 1 = 5,5m+1, tehát a keresett függvény pontja az x=8 helyen: (8 ; 5,5m+1).

(2;4) esetén x=2: y = (2-2,5)m + 1 = -0,5m+1, tehát a keresett függvény pontja az x=2 helyen: (2 ; -0,5m+1).

Tehát ezen pontpárok különbségének összegének minimumát (pontosabban a különbségek négyzetének összegének minimumát) keressük. Mivel a pontok egymáshoz képest függőlegesen állnak, ezért csak az y-értékeket kell kivonnunk egymásból;

Első pontpár: [2-(-3,5m+1)]^2 = [1+3,5m]^2 = 1 + 7m + 12,25m^2

Második pontpár: [1-(-1,5m+1)]^2 = [1,5m]^2 = 2,25m^2

Harmadik pontpár: [-3-(5,5m+1)]^2 = [-4-5,5m]^2 = 16 + 44m + 30,25m^2

Negyedik pontpár: [4-(-0,5m+1)]^2 = [3+0,5m]^2 = 9 + 3m + 0,25m^2

Ezek összegének kell a minimuma. Az összeg 26 + 54m + 45m^2, ennek a minimumát többféle módon meg lehet határozni, de ha tudsz deriválni, akkor azzal a legegyeszerűbb;

(26+54m+45m^2)' = 54+90m, ahol ez 0, ott van a minimum, vagyis m=-54/90 = -0,6 esetén, tehát a keresett egyenes meredeksége -0,6. Innen már a b értéke is megadható;

b = 1-2,5*(-0,6) = 2,5, tehát a keresett egyenes: y = -0,6x + 2,5.

Ez pont ugyanannyi, mint az 1-es válaszban látható geogebrás eredmény.