Leellenőrzitek nekem ezt a bizonyítási feladatot?
Üdv!
Nemrég kezdtem az emelt matekot, és a bizonyítás nekem még újdonságnak számít. Ezért minden olyan bizonyítást egyelőre megkérdezek, amit nem úgy bizonyítottam, ahogy a javítókulcsban van.
Előre is nagyon köszönöm az ellenőrzést, helyreigazítást!
Bizonyítsuk be, hogy bármely n egész szám esetén az
[(n^4-n^2)/24]-[(n^3-n)/12] kifejezés egész szám lesz.
Addig alkalmaztam ekvivalens átalakításokat, ameddig ki nem jött, az alábbi kifejezés:
n[n(n-1)(n+1)]-2[n(n-1)(n+1)] / 24
És akkor most az indoklás n nagyobb egyenlő, mint 3 feltétel esetén.
A 24=2*3*4, ezért 24 el osztható az összes n(n-1)(n+1) alakú szám
Legyen n(n-1)(n+1)=k, ekkor a kifejezés számlálója n*k-2*k lesz. (Ahol k a fentiek miatt 24 valamilyen egész számú többszöröse). A fenti feltételnek megfelelően akkor (n*k-2*k>0) a különbség is a 24 egész számú többszöröse lesz.
Ha n=0, vagy n=1 akkor a szorzat értéke 0 lesz, tehát az eredmény is 0 (0 esetén az n tényező miatt, 1 esetén pedig az (n-1) tényező miatt).
Ha n=2 akkor a számláló első tagja, és második tagja megegyezik, ezért a végeredmény szintén 0 lesz.
Ha n negatív egész, akkor pedig belátható, hogy ez a kifejezés annyiban módosul, hogy a két tag között nem kivonás, hanem összeadás lesz. Azonban a fentebbi bizonyítás miatt a számlálóban szintén 24 egész számú többszöröse lesz, így a kifejezés végeredményében szintén egész lesz.
Nagyon köszönöm előre is a segítséget, iránymutatást, helyreigazítást!
válasza:Vigyázz, egy így még nem igaz: "A 24=2*3*4, ezért 24 el osztható az összes n(n-1)(n+1) alakú szám"
n-1, n, n+1 között 2-vel és 3-mal osztható mindig van, de 4-gyel osztható (vagy kettő páros) nem feltétlenül - pl. 3*4*5 = 60 nem osztható 24-gyel.
Viszont ebből: n[n(n-1)(n+1)]-2[n(n-1)(n+1)] / 24 ki tudjuk még emelni (n-2)-t is a következőképpen: (n-2)[n(n-1)(n+1)] / 24 és így már 4 egymást követő egész szám szorzatát kapjuk, ami mindenképpen osztható lesz 24-gyel (a pozitív, negatív, 0..2 számokat nem szükséges külön vizsgálni).
válasza:Nagyon becsülöm, hogy belefogtál és leírtad a bizonyítást. Sokan csak kérdeznek és várják a sültgalambot.
Nem gondoltam át részleteiben, de ez biztosan nem igaz:
"... n nagyobb egyenlő, mint 3 feltétel esetén. A 24=2*3*4, ezért 24 el osztható az összes n(n-1)(n+1) alakú szám"
Pl. 5*6*7 nem osztaható 24-gyel.
válasza:Még annyival kiegészíteném, hogy érdemes kicsit részletesebben leírni, hogy miért osztható 4 egymást követő egész szám szorzata 24-gyel:
24 = 2^3 * 3
4 egymást követő szám között könnyen belátható, hogy pontosan 1 lesz 4-gyel osztható (ebben a 2 prímtényező legalább a második hatványon szerepel) és még egy páros (ebből megkapjuk a harmadik 2-es prímtényezőt is), és 3-mal osztható is van legalább egy. Ezzel a 24-gyel való oszthatóság feltételei teljesülnek.
válasza:"így már 4 egymást követő egész szám szorzatát kapjuk, ami mindenképpen osztható lesz 24-gyel"
Ennek még nem ártana egy érveléses megerősítés. Akár a kérdező részéról.
Nagyon köszönöm mindenkinek a választ, már értem, hol rontottam el, legközelebb átgondolom. Persze, hogy nekifogtam, hisz a matematikát a nehézségeivle együtt nagyon szeretem, a bizonyítást még szoknom kell. Az első 12 bizonyításom között van ez, melyből 5 az volt, amit az órán vettünk, a tehát magamtól ez kb. a 7. volt, viszont az első olyan, amiről azt kellett belátni, hogy mindig n. Tisztában vagyok vele, hogy nem nehéz, dehát valahonnan el kell kezdeni.:)
Mentek a zöld kezek, új kérdésekben biztosan fogok még kérdezni. Most megint egy dolgon töröm a fejem, de lehet, hogy annak a végére jutok úgy, ahogy a javítókulcsban van.:)
válasza:Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!