Miért különbözik ez a két integrálás?

Először is, az integráljel meg a dx (vagy a dy) közre szokta fogni az integrandust, mintha egy speciális zárójel lenne, ezért célszerűbb így átírni:

∫ e^y dy = ∫ x dx

Másodszor, a integráljel meg a dx (vagy dy) együttesen jelöli az integrálási műveletet, együtt alkotják az operátort, ha úgy tetszik. Az, hogy a dx ill. a dy "hová tűnik", olyan mintha azt kérdeznéd, összeadás után hová tűnik el a + jel.

A feladatra visszatérve:

Ez azt jelenti, hogy itt a bal oldalon az e^y-t, a jobb oldalon pedig az x-et kell integrálni. Az e^y integráltja önmaga, az x-é pedig x²/2, így lesz az eredmény e^y = x²/2 + C.

A másik átírva: ∫(4-5cosy)dy = ∫(2+3sinx)dx

Ha az integrandus összeg vagy különbség, azok külön-külön integrálódnak: a 4 mint konstans y szerinti integráltja 4y, hiszen ha megfordítod: a 4y deriváltja éppen 4. Ugyanígy, a 2 x szerinti integráltja 2x, hiszen a 2x deriváltja 2.

Ugye arról szól az egész integrálás, hogy kiszámítjuk egy függvénygörbe (pl. f(x)) alatti terület nagyságát. Ezt úgy szoktuk levezetni, hogy ezt a területet az x tengely mentén felosztjuk végtelen sok, végtelenül keskeny téglalapra, melyek területének összege pontosan kiadja a görbe alatti területet. A téglalap területe ugye szélesség × magasság: itt a szélesség egy végtelenül apró, x irányú elmozdulás (∆x), a magasság pedig nyilván az adott x értékhez tatozó függvényérték (f(x)). Egy-egy téglalap területe tehát f(x)*∆x, és ezeket szimplán összegezzük a kérdéses intervallumon: ∑(f(x)*∆x).

Na most, integrálásnál a ∆x helyett dx-et írunk, a ∑ helyett meg ∫-t, de mindkét jel a szumma, azaz összeg rövidítése: előbbi a görög

S betű, utóbbi meg a latin S elnyújtott változata.

Szóval a ∑(f(x)*∆x) jelölés és a ∫f(x)dx nagyjából ugyanazt a koncepciót írja le, gyakorlatilag görög betűk helyett latin(-szerű) betűkkel.

És igen, ahogy a ∆x-szel, úgy a dx-szel is valójában szorzunk, csak a szorzásjelet nem szoktuk utóbbi elé kitenni. Ha netán elhagyjuk a dx-et, akkor ugye máris lőttek az egésznek, mert anélkül nyilván nem fogjuk megkapni az egyes téglalapok területét, és így az egész integrálás értelmetlenné válik.

A 3-as hozzászólásban kicsit csúsztattam: ahogy az iméntiekből látszik, valójában mindegy lenne, hogy hova írod a dx-et, hiszen szorzunk vele, szorzásnál meg mindegy a sorrend, de mégis az a szokás alakult ki, hogy a ∫ és a dx mintegy operátorként közrefogja az integrandust, és akkor még külön zárójel sem feltétlenül kell egy többtagú integrandus köré, hiszen egyértelműnek szoktuk venni, hogy az integrálási művelet minden tagra vonatkozik a ∫ jel és a dx között.