Ezt valaki el tudja magyarázni?

Megszokhattuk, hogy általában egy függvény közvetlenül x-től függ, például az f(x)=cos(x) függvény esetén. Vannak azonban olyan függvények, amiken belül egy másik függvény is található, például a g(x)=cos(sin(x)) függvény esetén. Itt ahhoz, hogy a koszinuszt ki tudjuk számolni, előbb a sin(x) értékére van szükségünk. Ezt nevezzük függvénykompozíciónak.

Ahogy most is láthatjuk, gyakorlatilag az történik függvénykompozíciókor, hogy egy függvényben x helyére beírunk egy másik komplett függvényt;

ha f(x)=cos(x) és h(x)=sin(x), akkor f(g(x)) esetén az f függvény x-ébe beírjuk a g(x) függvényt, tehát f(g(x))=cos(sin(x)). Hamar rájöhetünk, hogy ez a művelet nem felcserélhető, ugyanis a g(f(x)) a sin(cos(x))-szel fog megegyezni, és nyilván cos(sin(x))=/=sin(cos(x)).

A függvénykompozíciót máshogyan is szokták jelölni:

f o g

Ez úgy olvassuk ki, hogy "ef kör gé", ez a jelölés megegyezik az f(g(x)) jelöléssel.

Sőt, az is előfordulhat, hogy egy függvényt saját magával állítjuk kompozícióba, a példában az f(f(x)) a cos(cos(x))-szel fog megegyezni.

A definíció többi része arról szól, hogy az f(x) és g(x) függvénynek is lehetnek értelmezési tartományai, és nyilván attól függően lesz az f(g(x)) függvénynek az az értelmezési tartománya egy adott halmaz, hogy a belső és a külső függvény is milyen halmazon lesz értelmezhető.

Vegyük például az gyök(lg(x)) függvényt. Itt annak kell teljesülnie (a valós számok halmazán), hogy

-az lg(x) miatt x>0,

-a gyök() miatt lg(x)>=0, vagyis x>=1.

A két egyenlőtlenséget egybevetve azt kapjuk, hogy a gyök(lg(x)) függvény értelmezési tartománya az x>=1 halmaz.

A példád nem jó, mert az lg(x) függvény értelmezési tartománya *természetszerűleg* a pozitív számok halmaza, tehát csak úgy nem lehet kibővíteni, mert lesz az értelmezési tartománynak olyan elme, amire a függvény nem ad valós eredményt (vagy semmilyet).

Annyit kell csak tudnod, hogy az f(g(x)) értelmezési tartománya az, ahol g(x) és f(g(x)) egy időben értelmezhető, illetve ha több kompozíció van, akkor az összes függvényre igaznak kell lennie, tehát f(g(h(x))) esetén ott, ahol h(x), g(h(x)) és f(g(h(x))) is értelmes. A függvényenkénti értelmezési tartomány lehet egy *természetszerű* halmaz, vagy egy mesterségesen leszűkített.

Maradva a példádnál, ha azt mondod, hogy az lg(x) értelmezési tartománya a [-1;végtelen[ intervallum, akkor előbb meg kell nézni, hogy ezen számok közül mik azok, amik valójában beírhatóak x helyére. Amikor kikötést csinálunk, akkor gyakorlatilag ugyanezt tesszük; a kiindulóhalmaz R, és meg kell néznünk, hogy ebből mely számok lesznek jók nekünk.

De ha írsz egy konkrét (jó) példát, akkor talán jobban látom, hogy mit nem értesz.