1. 9 oldalú konvex sokszögnek mekkora egy külső és belső szöge, ha szabályos? 2. Egy konvex sokszögnek kétszer annyi átlója van, mint oldala. Hány átlója van?

1. Az n oldalú sokszög belső szögeinek összege 180°*(n-2), esetünkben 180°*(9-2) = 180°*7 = 1260°. A szabályos szög esetén tudjuk, hogy minden szög ugyanakkora, szabályos kilencszög esetén 9 szög van, így a belső szögek összegét elosztjuk 9 egyenlő részre: 1260°:9=140°, tehát egy belső szög 140°-os. A külső és a belső szögről azt tudjuk, hogy egymást 180°-ra egészítik ki (vagyis összegük 180°), így a külső szögek 40°-osak lesznek, mivel 40°+140°=180°.

2. Az n oldalú (konvex) sokszögnek n*(n-3)/2 darab átlója van. Ha az oldalak száma n, akkor ennek kétszerese 2n, ez egyezik meg az átlók számával, vagyis:

2n = n*(n-3)/2, ezt az egyenletet kell megoldanunk. Szorzunk 2-vel:

4n = n*(n-3), mivel n értéke legalább 3, pozitív egész, ezért nyugodtan oszthatunk n-nel:

4 = n-3, innen pedig 7=n adódik, tehát a sokszögnek 7 oldala van.

Ellenőrzés: a 7 oldalú sokszög átlóinak száma a képlet alapján (n=7): 7*(7-3)/2 = 7*4/2 = 14, ez pont kétszerese az oldalak számának, tehát jól számoltunk.