Segítene valaki ebben a feladatban?

Első körben azt vegyük észre, hogy tetszőleges n-re (n;n-1)=1, tehát egymás melletti számok legnagyobb közös osztója 1. Tehát csak olyan számok jók n-re, amelyek előtt prímszám áll, tehát az n számot p+1 alakban keressük, ahol p prím.

A p+1 számokról azt tudjuk, hogy mind párosak, tehát (p+1;k)>=2 minden k összetett számra. Így már csak az a kérdés, hogy p+1 alatt milyen összetett számok vannak, és hogy azoknak van-e közös osztójuk a p+1 számmal. Nézzük egyesével:

5+1=6: 4, ez jó.

7+1=8: 6,4, ez is jó.

11+1=12: 10,9,8,6,4, ez is jó.

13+1=14: 12,10,9, ez nem lesz jó.

17+1=18: 16,15,14,12,10,9,8,6,4, ez is jó.

19+1=20: ez a 9-cel nem fog működni.

23+1=24: 22,21,20,18,16,15,14,12,10,9,8,6,4, ez is jó.

29+1=30: ez is jó.

31+1=32: ez a 9 és a 25 miatt nem lesz jó.

37+1=38, ez is a 9 és a 25 miatt

41+1=42, szintén a 25 zavar be.

43+1=44, újra a 9 és a 25 lesz a baj

47+1=48, a 25 okoz gondot

Innentől rájöhetünk, hogy csak azok a számok lesznek jók, amik oszthatóak 5-tel, a 25 miatt, ami csak az 5-ös prímosztóval osztható. Ez pedig csak akkor tud megvalósulni, hogyha a p prímszám 9-re végződik. Viszont a p+1 számnak 2-vel a 4, 3-mal a 9 miatt kell oszthatónak lennie. Valamint 49=7*7, ezért a 49-nél nagyobb számok 7-tel is oszthatóak kell, hogy legyenek.

Mivel a 2;3;5;7 relatív prímek egymáshoz, ezért a legkisebb szám, ami szóba jöhet, az a 2*3*5*7=210, a 209=11*19 viszont nem prímszám. Viszont ez a szám nagyobb a 11*11=121 és 13*13=169 számoknál, tehát az ezt követő számok 11-gyel és 13-mal is oszthatónak kell lennie.

Így a következő szóba jöhető szám a 2*3*5*7*11*13=30030, a 30029 szám pedig prím, így akár még jó is lehetne, azonban ez a szám osztható kellene, hogy legyen 17-tel, mivel 17*17=289, 19-cel, mert 19*19=361, és még lehetne sorolni.

Általánosan az a kérdés, hogy a 2*3*5*7*11*...*p(s) szorzat mikor tud p(s+1)^2 alatt maradni, ahol p(s) az s-edik, p(s+1) pedig az (s+1)-edik prímszám. Ha nincs több megfelelő prímszám, akkor azt kell megmutatnunk, hogy

2*3*5*7*...*p(s) >= p(s+1)^2, hogyha s>=5.

Egyelőre eddig jutottam.

A kulcsészrevétel az, hogy ha p prímszám olyan p² < n, akkor p | n-et, hiszen ekkor p² összetett, és a feltétel miatt van 1-től különböző közös osztója n-nel, így ez a közös osztó legalább p. Ez az észrevétel bármely p-re igaz, amire p < √n , következésképp a szorzatuk is osztja n-et.

Legyen tehát az első k prímszám olyan, hogy p(1), p(2), ..., p(k) < √n, de p(k+1) ≥ √n, azaz π(√n) = k

Kapjuk, hogy

p(1)*p(2)*...* p(k) ≤ n, amiből egyszerű becsléssel

2^(π(√ n)) ≤ n,

A lényeg innentől az, hogy ha n-et növeljük, a baloldal sokkal gyorsabban nő, mint a jobboldal, tehát csak véges sok n-re teljesülhet az egyenlőtlenség. Ennek belátásához a prímszámtételre van szükség. [link]