Hogyan látod be, hogy √2+√3+√5 irracionális?

egyszerű mind3 irracionális szám. 3 irracionális szám összege csak irracionális lehet

200iq köszönöm.

Tehát itt tartunk: irracionális+irracionális+irracionális.

Azt mondod, hogy két irracionális összege lehet irracionális, így irracionális+irracionális=irracionális, tehát

(irracionális+irracionális)+irracionális = irracionális+irracionális

Két irracionális szám összege lehet racionális, tehát a fenti összeg is. Ez azt jelenti, hogy három irracionális szám összege lehet racionális, és ezzrl a gondolatmenettel akármennyi irracionális szám összege lehet racionális.

Egyébként nem kell a/b alakban felírni; tegyük fel, hogy az összeg k, ahol k valami racionális szám, vagyis

√2+√3+√5 = k, vonjuk ki valamelyik tagot, például √5-öt:

√2+√3 = k-√5, emeljünk négyzetre:

2 + 2*√2*√3 + 3 = k^2 + 2*k*√5 + 5, vonjunk ki 5-öt és vonjunk össze:

√24 = k^2 + k*√20, osztunk k-val és kivonunk √20-at:

(√24)/k - √20 = k

A jobb oldalon egy racionális szám van, így kérdés, hogy a bal oldalon lévő is racionális-e, ezt már könnyebb belátni; ha egy számot négyzetre emelve irracionális számot kapunk, akkor a szám irracionális kellett, hogy legyen, tehát ha van egy kis szerencsénk, akkor irracionálist kapunk a négyzetre emeléssel;

((√24)/k - √20)^2 = 24/k^2 - 2*((√24)/k)*√20 + 20 = 24/k^2 + 20 - √(1920)/k

Nyilván az első két tag racionális, azok összege racionális. A harmadik tag a √(1920) miatt irracionális lesz (ennek bizonyítása már tényleg könnyű, azt most nem vezetem le), ezen a /k sem segít. Tehátnazt kaptuk, hogy racionális-irracionális, és köztudott, hogy ennek az eredménye mindig irracionális. Tehát a négyzetre emeléssel irracionálist kaptunk, így az eredeti is irracionális volt, ezzel pedig azt kaptuk, hogy irracionális=k, ami ellentmondás, mivel k eredetileg racionális volt. Tehát a k=√2+√3+√5 összeg is csak irracionális lehet.

Sajnos van egy előjelhiba a levezetésben az első négyzetre emelésnél (ezzel gyakorlatilag azt vezettem le, hogy a √2+√3-√5 irracionális), de szerencsére csak át kell írni a megfelelő előjeleket, és ez nem befolyásolja nagyon a levezetést, tehát a lépések ugyanazok maradnak;

√2+√3+√5 = k, vonjuk ki valamelyik tagot, például √5-öt:

√2+√3 = k-√5, emeljünk négyzetre:

2 + 2*√2*√3 + 3 = k^2 - 2*k*√5 + 5, vonjunk ki 5-öt és vonjunk össze:

√24 = k^2 - k*√20, osztunk k-val és hozzáadunk √20-at:

(√24)/k + √20 = k

A jobb oldalon egy racionális szám van, így kérdés, hogy a bal oldalon lévő is racionális-e, ezt már könnyebb belátni; ha egy számot négyzetre emelve irracionális számot kapunk, akkor a szám irracionális kellett, hogy legyen, tehát ha van egy kis szerencsénk, akkor irracionálist kapunk a négyzetre emeléssel;

((√24)/k + √20)^2 = 24/k^2 + 2*((√24)/k)*√20 + 20 = 24/k^2 + 20 + √(1920)/k

Nyilván az első két tag racionális, azok összege racionális. A harmadik tag a √(1920) miatt irracionális lesz (ennek bizonyítása már tényleg könnyű, azt most nem vezetem le), ezen a /k sem segít. Tehát azt kaptuk, hogy racionális+irracionális, és köztudott, hogy ennek az eredménye mindig irracionális. Tehát a négyzetre emeléssel irracionálist kaptunk, így az eredeti is irracionális volt, ezzel pedig azt kaptuk, hogy irracionális=k, ami ellentmondás, mivel k eredetileg racionális volt. Tehát a k=√2+√3+√5 összeg is csak irracionális lehet.