Két ember barát, ha egyikük székének száma osztja a másikuk székének számát.Ülőhelyek 1-10000-ig számozottak. Hány barátja van a 2022. ill. 2023.széken ülőnek?Van olyan néző akinek nincs barátja?Hány barátja van az n-es széken ülőnek?

Tehát tudnunk kell azt, hogy egy számot hány számmal lehet osztani, és az hány számot oszt.

Egy (1-nél nagyobb egész) szám osztóinak a számát úgy tudhatjuk meg, hogy felírjuk prímtényezős hatványalakban (prímszámok hatványainak szorzataként), a hatványkitevőket 1-gyel növeljük, majd az így kapott számokat összeszorozzuk.

A 2022 prímtényezős felbontása: 2*3*337

Itt minden prímtényező az első hatványon van, ezeket megnöveljük: 2, 2, 2, ezeket összeszorozzuk: 2*2*2=8, tehát 8 osztója van. Ezeket viszonylag könnyen össze is tudjuk szedni osztópárokként: 1*2022, 2*1011, 3*674, 6*337. Tehát a 2022-nek 8 osztója van.

Hány számot oszt: 2022, 4044, 6066, 8088, a következő már nagyobb lenne nála. Tehát (önmagát is belevéve) 4 számot oszt. Érdemes a későbbiekre megjegyezni, hogy ezt a 4-et számítással úgy kaphatjuk meg, hogy a 10.000-et elosztjuk 2022-vel, és annak vesszük az alsó egészrészét (lefelé kerekítjük egészre); 10.000/2022 = 4,94, ez lefelé kerekítve 4.

Ezek alapján a 2022-nek 8+4=12 barátja van. Viszont ezen számok között kétszer szerepel a 2022. Ha a feladat kitalálója szerint mindenki önmagának is barátja, akkor ebből az összegből 1-et le kell vonni, mivel a 2022 kétszer lett megszámolva. Ha önmagára nézve senki nem barát (ez a valószínűbb), akkor 2-t kell levonni az összegből, így 10 barátja van a 2022-nek.

A 2023-nál ugyanezt megcsináljuk; 2023 = 7 * 17^2, itt a 7-es kitevője 1, a 17-é 2, tehát ezeket növeljük 1-gyel: 2, 3, ezek szorzata 6, tehát 6 osztója van neki: 1*2023, 7*289, 17*119. A 2023 a következő számokat osztja: 2023, 4046, 6069, 8092, tehát 4 számot, és itt is meg tudjuk adni ezen számok számát osztással: 10.000/2023 = 4,94, ezt egészre lekerekítve 4-et kapunk.

Ezek összege 6+4=10, de ebből 1-et vagy kettőt le kell vonnunk a fentiek miatt, így 9 vagy 8 barátja van a 2023-nak.

Van-e olyan, akinek nincs barátja: nincs, mivel az 1 minden számnak osztója, tehát mindenkinek van legalább 1 barátja.

Általánosan: jelölje az o(n) függvény az n szám osztóinak a számát, tehát olyan barátok, akik n-t osztják, o(n)-nyien vannak. Hogy az n szám hány számot oszt, azt a fentiek alapján így tudjuk kiszámolni: [10000/n], ahol a szögletes zárójel az alsó egészrészt (egészre lekerekítést) jelenti. Ezek alapján o(n)+[10000/n] barátot tudunk megszámolni. Viszont a fenti megállapítások szerint ebből 1-et le kell vonnunk a túlszámolás miatt, hogyha mindenki önmagának is barátja, és még 1-et, hogyha önmagának nem barátja senki, tehát a barátok szám:

o(n)+[10000/n]-1, ha mindenki önmagának is barátja,

o(n)+[10000/n]-2, ha önmagának senki sem barátja.