Adott három különböző számjegy. Képezzük e három számjegyből az összes egyjegyű, kétjegyű és háromjegyű különböző számjegyeket tartalmazó számokat, majd adjuk ezeket össze. Lehet-e az összeg 1715? Hát 2023? Ha lehet, akkor mik lehetnek a számjegyek?

Legyen a három számjegy a, b és c. Hány olyan szám van, ahol 'a' az 1-es helyiértéken van? Hány olyan, ahol a 10-esen? Hány olyan, ahol a 100-ason?

Ezzel meghatározható egy olyan szám, amivel az összegnek oszthatónak kell lenni. És az összeg osztható lesz a+b+c-vel is.

Mivel nincs sok lehetőség, akár össze is szedhetjük őket; ha a három számjegy a;b;c, és egyikük sem 0, akkor a számok:

a, b, c, ab, ac, ba, bc, ca, cb, abc, acb, bac, bca, cab, cba

Minden szám felírható összegalakban. Például a 159 felírható úgy, hogy 1*100+5*10+9*1, ezt fogjuk felhasználni. Minden számot írjunk így fel:

a, b, c, 10a+b, 10a+c, 10b+a, 10b+c, 10c+a, 10c+b, 100a+10b+c, 100a+10c+b, 100b+10a+c, 100b+10c+a, 100c+10a+b, 100c+10b+a

A tanult módon ezeket össze lehet adni:

245a + 245b + 245c, itt pedig ki tudunk emelni 245-öt:

245*(a+b+c), tehát az összeg eredménye mindenképp olyan szám, ami osztható 245-tel. Innen próbáld meg ezt a részt befejezni.

Ha a számjegyek között van 0, akkor az a,b,0 számjegyeink vannak, ennek érdekessége, hogy kétjegyű és háromjegyű szám első számjegye nem lehet 0, tehát kevesebb lehetőségünk van:

a, b, 0, ab, a0, ba, b0, ab0, a0b, ba0, b0a

Persze ezek is felírhatóak összegekként:

a, b, 0, 10a+b, 10a+0, 10b+a, 10b+0, 100a+10b+0, 100a+0*10+b, 100b+10a+0, 100b+0*10+a

Ezek összege: 233a + 233b, ami 233*(a+b), itt is meg kell nézni, hogy a fenti két szám kijön-e ebből.