Egy nap hányszor áll egy vonalban a percmutató és az óramutató az órán?

Ugye kezdjünk el gondolkodni. Egyetértesz azzal, hogy éjfélkor egy vonalban áll a két mutató? Ez az első alkalom egy nap.

Aztán eltelik egy óra, a nagymutató egyszer körbe megy, de a kismutató is arrébb megy az 1-esre, ezalatt nem találkoznak.

De aztán 1 óra és 2 óra között a nagymutató megelőzi a kismutatót, tehát lesz egy pillanat, amikor az előzés történik, és egy vonalban vannak, ugye? Ez már a második.

2 és 3 óra között megint ez van, ha magad elé képzeled az órát. Harmadik.

3 és 4 óra között megint ez van. Negyedik.

4 és 5 óra között megint ez van. Ötödik.

5 és 6 óra között megint ez van. Hatodik.

6 és 7 óra között megint ez van. Hetedik.

7 és 8 óra között megint ez van. Nyolcadik.

8 és 9 óra között megint ez van. Kilencedik.

9 és 10 óra között megint ez van. Tizedik.

10 és 11 óra között megint ez van. Tizenegyedik.

Viszont 11 óra után és 12 óra előtt a nagymutató már nem éri utol a kicsit, mert a kicsi közben eljut a 12-esre.

Folytasd, a gondolatmenetet, hogy mi történik majd déltől, vagy 11:30-től, éjfél előttig (vagy éjjel 23:30-ig).

Sikerül így összeszámolni, hogy hányszor áll egy vonalban a percmutató és az óramutató?

Feltételezzük, hogy a mutatók egyenletes körmozgást végeznek.

A percmutató 1 óra alatt 360°-ot fordul, az óramutató 360°/12=30°-ot.

Éjfélkor a két mutató egymáson áll. Ha x óra múlva találkoznak, akkor a percmutató 360°*x, az óramutató 30°*x fokot fordul. Akkor lesznek fedésben, hogyha elfordulásaik különbsége 360° lesz, tehát:

360°*x - 30°*x = 360°, rendezés után x=12/11, tehát 12/11 órának kell eltelnie, hogy újra fedésbe kerüljenek. Ez természetesen minden fedést követően így lesz, tehát már csak az a kérdés, hogy a 24 órában hányszor van meg ez a 12/11 óra, válasz: 24:(12/11) = 22, tehát pontosan 22-szer fogják egymást fedni a mutatók. Ebben benne van a két éjfél is, szóval kérdés, hogy a "második" éjfél még beletartozik-e az előző napba vagy sem, mert ha nem, akkor a válasz 21.

Mivel a válaszlehetőségekhez képest kevés lett a megoldás, ezért valószínűleg az is egy vonalnak számít, amikor 180°-ot zárnak be a mutatók. Ebben az esetben a különbségnek 180°-nak kell lennie:

360°*x - 30°*x = 180°, ennek megoldása x=6/11, tehát 6/11 óra múlva lesznek ellentétes irányban. Mivel a 6/11 pont fele az előbbi 12/11-nek, ezért a következő "félfordulattal" már egymáson lesznek, tehát ezzel a megoldással számolva a fedéseket is megszámoljuk; 24:(6/11)=44, tehát 44-szer vannak egy vonalban (illetve 43-szor, hogyha a "második" éjfél már nem tartozik az előző naphoz). Tehát a helyes válasz a 44 a válaszlehetőségek közül.

Egy másik levezetés:

Ha nem működne az óramutató, akkor a percmutató 24-szer járna körbe, ez idő alatt 48-szor volt vele egy vonalban, óránként kétszer (ami ugye lehet az, hogy egymáson, vagy egymással szemben vannak).

Viszont ha működik az óramutató, akkor két kört az is meg fog tenni, míg a percmutató 24-et, így két körrel kevesebbszer találkozhatnak, ami ugyanezen logika mentén kétszer annyi, azaz 4 alkalmat jelent.

48-4=44