Ez az egyenletegyszerűsítés hogy jön ki?

Én x-szel írom, ha nem baj;

Az első két tagból ki tudunk emelni -x^2-et:

-x^2*(x-1)+x-1, itt pedig (x-1)-et tudunk kiemelni:

(x-1)*(-x^2+1), ami kicsit átalakítva (1-x^2)*(x-1) lesz.

De más módon is lehet; például ránézésre x=1 gyöke a polinomnak, így kiemelhető belőle (x-1), és polinomosztással az (1-x^2)-et meg tudjuk kapni.

Nem egyenlet egyszerűsítés, hanem polinom szorzattá alakítás.

Mielőtt felteszed a kérdést, tisztázd magadban, hogy mi az, amit kérdezni akarsz!

Általános megoldás harmadfokúnál még éppen van; a gyököket kell kiszámolnod, és akkor fel tudod írni a*(x-x1)*(x-x2)*(x-x3) alakban, ahol az a a főegyüttható (amivel x^3 van megszorozva), x1, x2 és x3 a harmadfokú polinom gyökei (ahol a 0-t veszik fel értéknek). Harmadfokú függvénynek egyébként nem mindig van 3 valós megoldása, olyankor polinomosztást kell csinálni, hogy szorzatként fel tudjuk írni. Még a negyedfokúnak is van megoldóképlete. Ennek egyébként becsületes neve gyöktényezős alak, ennek nézz utána.

Általánosságban csak akkor tudunk szorzattá bontani, hogyha a polinomnak van racionális gyöke, ezeket a Rolle-féle gyöktétellel tudjuk összeszedni. Ritkább esetben ügyesen rendezve kiemeléssel is tudunk haladni (ez a feladat pont egy ilyen ritkább eset).

Az #5-ben már leírtam, de leírom újra; a kiemeléssel való megoldás ritkán működik praktikusan. Ha a gyök egész (és az együtthatók egészek), akkor mindig lehet addig variálni, hogy valami valahogyan kiemelhető legyen, de ezt ritkán könnyű belelátni a feladatba.

Harmadfokú egyenletet is meg lehet Rolle gyöktételével oldani, feltéve, hogy az egyenletnek létezik racionális gyöke. Ha az összes racionális, akkor mindet meg tudjuk keresni, ha 1 racionális és 2 irracionális, akkor szorzattá alakítunk, és a másodfokút megoldjuk.

Ha tudjuk a harmadfokú egyenlet egyik gyökét, akkor viszont a kiemelés is könnyebben véghez vihető.