Két racionális szám hatványaként előáll-e az 1 + gyök2?

1 + √2 nem írható le racionális számok hatványaként, mivel az √2 irracionális.

Két racionális szám hatványaként való előállás azt jelentené, hogy

(1 + √2) = p/q

#1es

Hatványaként nem hányadosaként. A gyök 2 = 2^(0.5) tehát ez előállítható racionális számok hatványaként

A kérdés átfogalmazható úgy, hogy 1 + √2 racionális kitevős hatványa lehet-e racionális.

Ennek nem sok esélyét látom, de - egyelőre - nem látom a bizonyítást.

Nem áll elő. Ha

1 + √2 = (c/d)^(a/b),

akkor

(1 + √2)^b = (c^a)/(d^a)

Ez viszont lehetetlen, mert 1 + √2 bármelyik egész kitevős hatványa irracionális (ez a binomális tételből következik), a másik kettő viszont egész.

#4

Szép!