Mekkora a kör sugara?

Nagyon úgy tűnik, hogy ennyi adatból nincs egzakt megoldása ennek a feladatnak. Megnéztem két konkrét négyszöget, és azokra nagyon eltérő eredményeket kaptam;

-Először vettem egy húrdeltoidot (két, szemben lévő szöge derékszög), erről biztosan tudjuk, hogy átlói merőlegesek egymásra, és mivel húrdeltoid, ezért van köré írható köre is. A húrdeltoid két-két oldala 6 és 7 hosszúságú. A húrdeltoidnak ha behúzzuk a szimmetriaátlóját, akkor két derékszögű háromszöget kapunk, melyeknek szintén köréírt köre a deltoid köre, ennek pedig Thalesz tételéből tudjuk, hogy átmérője a derékszögű háromszög átfogója, amit Pitagorasz tételével ki tudunk számolni, így kapjuk a gyök(85)-öt az átmérőre, innen a sugár gyök(85)/2 =~ 4,61 hosszú.

-Ezután vettem egy, a feltételeknek megfelelő húrtrapézt, amelynek két alapja 6 és 7 hosszú. Itt egy kicsit bonyolultabb volt a számítás, a lényeg, hogy itt a sugárra pontosan 3*gyök(1468,5)/28 -at kaptam, ami kerekítve 4,11.

Tehát a két esetben fél egységnyi eltérés lett a két sugár között.

Itt foglalkozom a problémával: [link]

A keresett kör sugara: sqrt(85)/2

Egyelőre dolgozom rajt.

Van egy nem túl szép algebrai megoldásom, de legalább van :) Amit tettem; legyen az átlók metszéspontja O, ekkor az OC-t elneveztem s-nek, az OD-t pedig p-nek. Mivel van egy rakat derékszögű háromszögünk, ezért Pitagorasz tételével az összes szakasz hossza "kiszámolható".

1. egyenlet: vettem a BCD háromszöget, és annak a területét a sima a*m/2-es képlettel felírtam.

2. egyenlet: ezután a BCD háromszög területét a T=a*b*c/(4R)-es képlettel írtam fel. (Tekintve, hogy a BCD háromszög köré írható köre megegyezik a négyszögével.)

Ezután rájöttem, hogy a két egyenlet praktikusan osztható egymással, így ezt kaptam R-re rendezve:

R = 7/2 * gyök(s^2+p^2) / s

3-4. egyenlet: ezután ugyanezeket a lépéseket az ACD háromszögre is megcsináltam, majd a két egyenletet egymással osztva:

R = 3 * gyök(s^2+p^2) / p

Itt újra tudtam osztani a két egyenletet egymással, amire a p = (6/7)*s összefüggést kaptam. Ezt beírtam az első R-es egyenletben p helyére:

R = 7/2 * gyök(s^2+((6/7)*s)^2) / s, vagyis

R = gyök(85)/2.

Feltételezem, hogy van sokkal egyszerűbb megoldás is, nekem most ez jött ki.

#2

Már kész.

Az algebrai megoldásomból kiderül, hogy az AOD és a BOC háromszögek (ahol O még mindig az átlók metszéspontja) hasonlóak (és azért ezek, mert ezeknek fixen ismerjük egy-egy oldalát). Szóval ha megsejtjük, hogy az elején, hogy ezek a háromszögek hasonlóak, akkor el tudunk úgy indulni, hogy megpróbáljuk ezt megmutatni. Sajnos a szögek felírásából nekem nem jött ki semmi, úgyhogy maradtam az oldalaknál. Tegyük fel hogy a két háromszög hasonló, ekkor a hasonlóság aránya 7/6 lesz. Az (kisebb) AOD háromszög két befogója p és gyök(36-p^2), ekkor a (nagyobb) BOC háromszög befogói (7/6)*p és (7/6)*gyök(36-p^2) nagyságúak lesznek. Nézzük meg, hogy ekkor teljesül-e Pitagorasz tétele, vagyis:

((7/6)*p)^2 + ((7/6)*gyök(36-p^2))^2 = 7^2

Mivel erre azonosságot kapunk, ezért ez az egyenlőség (értelemszerűen az értelmezési tartományon belül) mindig igaz lesz, tehát helyes volt az eredeti feltevésünk, vagyis az AOD és BOC háromszögek hasonlóak.

Innen pedig könnyebb a háromszög területképleteiből kihozni R értékét, mivel nem lesz annyi ismeretlen.