Hogyan bizonyítsam teljes indukcióval?

n=1-re igaz

Feltesszük, hogy n-re is igaz, ekkor

5^(n+1) + 2*3^n + 1 = 5*(5^n + 2*3^(n-1) + 1) - 4*(3^(n-1)+1)

A jobboldal első tagja osztható 8-cal az indukciós feltevés szerint. A második tag egyrészt osztható 4-gyel, másrészt a 3^(n-1)+1 még osztható tovább 2-vel is, hiszen két páratlan szám összege. Így a baloldal osztható 8-cal. Kész.

Annyival kiegészíteném a fenti választ, hogy nincs mindig ilyen szerencsénk. Előfordulhat, hogy olyan tagot kapunk, hogy be kellene látni az oszthatóságot, amire nem lehet „ránézésre” megmondani, ahogy most tette. Ilyen esetben az ilyen kifejezésekre is rá lehet szabadítani a teljes indukciós bizonyítást, mintha egy teljesen másik feladat lenne.

Tehát nézzük meg teljes indukcióval, hogy 8 | 4*(3^(n-1)+1). Látható, hogy n=1-re igaz, valamint feltesszük, hogy n-ig igaz, így nézzük meg, hogy (n+1)-re mi történik:

4*((3^n)+1), arra törekszünk, hogy az indukciós feltevés megjelenjen, ehhez így alakítjuk át; először kibontjuk a zárójelet:

4*3^n + 4, kicsit átalakítjuk az első tagot:

12*3^(n-1) + 4, majd az első tagot szét tudjuk szedni így:

8*3^(n-1) + 4*3^(n-1) + 4, itt végül 4-et ki tudunk emelni a második két tagból:

8*3^(n-1) + 4*(3^(n-1)+1)

Az első tag a 8-as szorzó miatt osztható 8-cal, a második tag pedig az indukciós feltevés miatt, tehát az egész osztható 8-cal, ha n>=1 egész.