Valaki esetleg tudna segíteni a matek házimban? A feladat: Egy számtani sorozat tagjaira teljesül, hogy a5 x a10 = -25 és a2 + a8 = 10 Adjuk meg a sorozat első tagját és differenciáját. Aki segít, azt megáldom egy életre

Számtani sorozat. Azaz a(n) = (n-1)d*a(1), ahol d a növekmény.

Mivel fentiek szerint a2 = a1+ d, a8 = a1 +7*d, ezért a1+d+a1+7*d = 10. Ebből d = (5-a1)/4.

a5 = a1 + 4*d, a1 = a1 + 9*d, a d helyére beírva az előbbi összefüggést, (a1+4*(5-a1)/4)*(a1+9*(5-a1)/4)=-25. A számolást elvégezve a1 = 13, ezt beírjuk a d képletébe és kapjuk, hogy d = -2.

Ezután ellenőrzünk, a5 = -5, a10 = 5, szorzatuk tényleg -25. a2 = 11, a8 = -1, összegük 10, tehát jól számoltunk.

Az ilyen feladatoknál jellemzően az a trükk, hogy a tagokat a1 és d segítségével felírjuk, ahogy általában az an = a1 + (n-1)*d képlettel szoktuk.

Ennek megfelelően:

a5 = a1 + 4d

a10 = a1 + 9d

a2 = a1 + d

a8 = a1 + 7d, és ezeket beírjuk a tagok helyére a két egyenletben:

(a1 + 4d) * (a1 + 9d) = -25

(a1 + d) + (a1 + 7d) = 10

Ezáltal egy kétismeretlenes egyenletet kapunk, amit jó eséllyel meg tudunk oldani.

Érdemes most a második egyenletből kiindulni;

a1 + d + a1 + 7d = 10, összevonunk:

2a1 + 8d = 10, ezt rendezzük a1-re:

a1 = 5 - 4d

Ezt az első egyenletben a1 helyére be tudjuk helyettesíteni:

((5-4d) + 4d) * ((5-4d) + 9d) = -25, összevonunk:

5 * (5 + 5d) = -25, ebből már látjuk, hogy egy elsőfokú egyenlet fog kijönni. Osztunk 5-tel:

5 + 5d = -5, kivonunk 5-öt:

5d = -10, végül újra osztunk 5-tel:

d = -2, tehát a sorozat differenciája (-2). Az a1-et az a1 = 5 - 4d egyenletből kapjuk meg a leghamarabb; a1 = 5 - 4*(-2) = 5+8 = 13.

Az ellenőrzést rád bízom.

Vagy röviden:

a2 + a8 = 10

Az a5 pont ugyanakkora távolságban van mindkettőtől. Az értéke a kettő számtani közepe. a5=5

a5*a10=-25, ezért a10=-5.

a5-höz 5-ször kellett hozzáadni d-t és ezáltal 5-ből -5 lett. d=-2.

a5-ből négyszer kell levonni d-t, hogy a1-et kapjuk. a1=5-4*(-2)=13.