Hogy kell megoldani az alábbi feladatot?

Na megvan a masodik

Számláló: 2^2=4 0,5^2=0,25 4+0,25=4,25

Nevező: 2-0,5=1,5

Egyben: 4,25/1,5=2,83•

2*1,41=2,83 tehát igaz az állítás.

Nyilván a kerekítések miatt van az az 1,3 század eltérés, ha rendesen kiírod az összes számot akkor egyenlő. :)

#1-3, nem ez a feladat. Nem baj, hogy nem érted, mindenhez nem kell érteni.

A feladat az, hogy HA IGAZ AZ, hogy a>b és a*b=1, akkor a megadott egyenlőtlenség MINDIG TELJESÜL. Tehát ez nem két feladat, hanem egy.

Egy lehetséges, nem túl elegáns* megoldás; mivel a*b=1, ezért osztunk a-val: b = 1/a, és ezt helyettesítjük b helyére az egyenlőtlenségben;

(a^2+(1/a)^2)/(a - 1/a) >= 2*gyök(2)

Ezzel pedig kapunk egy egyismeretlenes egyenlőtlenséget, amit meg kell oldanunk. Mivel a bal oldalon a nevező mindig pozitív a feltételek mentén, ezért gond nélkül lehet vele szorozni:

a^2 + 1/a^2 >= 2*gyök(2)*(a - 1/a)

Ez az egyenlőtlenség a szokott módon nem biztos, hogy megoldható, vagyis ha csak rendezzük, mivel akkor egy negyedfokú egyenlőtlenség fog kijönni, amit vagy meg tudunk oldani vagy nem. De nézzünk egy másik megoldást; ez az egyenlőtlenség valójában visszavezethető másodfokú egyenlőtlenségre, csak nem látszik olyan könnyedén. Vezessük be a következő helyettesítést:

a - 1/a = t

Mivel (a - 1/a) pozitív, ezért t is, így gond nélkül négyzetre lehet emelni mindkét oldalt:

a^2 - 2*a*(1/a) + 1/a^2 = t^2, elvégezzük a szorzást:

a^2 - 2 + 1/a^2 = t^2, végül kivonunk 2-t:

a^2 + 1/a^2 = t^2 + 2, ez pedig pont, mint az eredeti egyenlőtlenség bal oldalán lévő kifejezés. Ezek alapján:

t^2 + 2 >= 2*gyök(2)*t, ezt pedig már illik tudni megoldani. A végén azt kapjuk, hogy tetszőleges t-re igaz az állítás. Tehát az eredeti állítás is igaz lesz.

*Nem túl elegáns alatt azt értem, hogy az ilyen feladatoknál nem az szokott a cél lenni, hogy egy feltételt megváltoztassunk, hanem hogy a feltételt önmagában használjuk fel. Tehát ha az eredeti egyenlőtlenségben tudunk olyan átalakítást végezni, hogy a*b megjelenjen, akkor arról tudjuk, hogy annak értéke minden körülmények között 1. Ez a megoldási mód így nézne ki:

(a^2+b^2)/(a-b) >= 2*gyök(2)

A számlálót a nevezetes azonosságok segítségével át tudjuk alakítani:

a^2 + b^2 = a^2 - 2*a*b + b^2 + 2*a*b = (a-b)^2 + 2*a*b, így az egyenlőtlenség:

((a-b)^2 + 2*a*b)/(a-b) >= 2*gyök(2). Itt megjelent a*b, aminek értéke 1, így 2*a*b=2*1=2, tehát:

((a-b)^2 + 2)/(a-b) >= 2*gyök(2), mivel itt több helyen ugyanaz az ismeretlen van, ezért cseréljük le: legyen a-b=s, ekkor:

(s^2 + 2)/s >= 2*gyök(2), ez pedig újfent egy másodfokú egyenlőtlenség, amit meg kell tudnunk oldani. Gyakorlatilag észrevehetjük, hogy a felszorzás után ugyanazt az egyenlőtlenséget kapjuk, mint az előbb, csak t helyett s van most ismeretlenként.

Tudjuk, hogy ab=1 és a > b.

(a² + b²)/(a-b) = [(a-b)² + 2ab]/(a-b) = (a-b) + 2ab/(a-b) =

= (a-b) + 2/[(1/b) - (1/a)] = (a-b) + 2/(a-b) = gyok(2)[(a-b)/(gyok(2)) + gyok(2)/(a-b)]

ez az utolsó tényező éppen egy x + 1/x típusú összeg, ami ≥ 2, ha x > 0, vagyis az eredeti ≥ (gyok2)*2.