Matematika feladatban segítene valaki?

A 10 hatványai általános alakban úgy néznek ki, hogy 2^k * 5^k, ahol "k" egy természetes szám (ugye 10 = 2*5; 10*10 = 2*2*5*5 és így tovább).

Ha egy pozitív egész számhoz hozzáadjuk a legnagyobb valódi osztóját, azt is fel lehet írni általános alakban. Legyen a vizsgált szám "n". Nézzük meg a prímtényezős felbontását: n = p_1^m_1 * p_2^m_2 * ... * p_j^m_j (p_index a megfelelő prímszámokat jelöli, m_index pedig a hozzájuk tartozó hatványkitevőket). Tegyük fel, hogy a prímszámok nagyság szerint sorrendbe vannak rendezve, és p_1 a legkisebb. Ebből az következik, hogy "n" legnagyobb valódi osztója (jelöljük d-vel): d = p_1^(m_1-1) * p_2^m_2 * ... * p_j^m_j. Mindebből n + d = (p_1 + 1) * p_1^(m_1-1) * p_2^m_2 * ... * p_j^m_j. Ennek kell 10 hatványának, vagyis alakúnak 2^k * 5^k lenni.

Hogyan lehetséges mindez? Csak úgy, ha n-nek csak két prímtényezője van, m_1 = 1, továbbá (p_1 + 1) 2 hatványa, és ha p_1 = 2^s - 1, akkor p_2^m_2 = 5^s.

A 2^s - 1 alakú prímszámokat Mersenne prímeknek nevezik. Ilyen pl. a 3 is (mert 3 = 2^2 - 1). Ha n = M_s * 5^s, ahol M = 2^s - 1 egy Mersenne-prím, akkor n+d 10 hatványa lesz. Igen ám, csak ugye fent azt is feltételeztük, hogy p_1 kisebb, mint p_2 = 5, mert másképp d nem a legnagyobb valódi osztó lenne, csak egy akármilyen valódi osztó. Így aztán nem is alkalmas minden Mersenne-prím, csak a 3 (ami 5-nél kisebb). Ennek alapján n = M_2 * 5^2 = 75.

"Egy pozitív egész számhoz hozzáadjuk a legnagyobb valódi osztóját és így a 10 valamely hatványát kapjuk."

Legyen a szám m és a legnagyobb valódi osztója o. Akkor m=o*p lesz, ahol p prímszám. Ha p nem prím lenne, akkor fel lehetne bontani és lehetne egy o-nál nagyobb valódi osztót képezni. És ugyanebből az okból p-nek kell m legkisebb prím osztójának lenni.

Szóval o*(p+1)=10^n. Olyan prímet keresünk, aminél p+1 osztója 10^n-nek. Kezdjük alulról:

2+1=3, nem jó.

3+1=4, lehet jó. Akkor n legalább 2. o=100/4=25 m=p*o=75. p a 75 legkisebb prím osztója. Tökéletes.

Lehet-e n=3? Akkor o=1000/4=250, m=p*o=750. De p=5 nem m legkisebb prím osztója, mert az 2. És n>=3 értékeinél m=p*o=3*10^n/(3+1) mindig osztható lesz 2-vel.

5+1=6 nem osztója 10^n-nek.

7+1=8 o=1000/8=125, m=p*o=875. De p itt sem a legkisebb prímje m-nek, mert az 5.

És m mindig fog tartalmazni 2-es vagy 5-ös prímtényezőt, mert o is tartalmaz. Ezért az 5-nél nagyobb p prímek nem fognak legnagyobb valós osztót adni.

Az egyetlen megoldás a 75.