Egy derékszögű háromszög oldalhosszúságai egy számtani sorozat 3 egymást követő tagjai. Határozza meg a háromszög legkisebb szögét?

Az oldalhosszok 30, 4a, 5a.

A keresett szög szinusza 3/5, közelítő értéke 36,9°.

Erre érettségin kapsz 2 pontot az 5-ből. Nem csak arra kíváncsiak, hogy találsz-e olyat, hanem, hogy a levezetés megy-e.

Korrekten fel kell írni, hogy a 3 oldal:

(a-d), a, (a+d)

Feltételek: a-d>0, azaz a>d>0 számok.

Erre a 3 oldalra fel kell írni a Pithagorasz-tételt:

(a-d)^2 + a^2 = (a+d)^2

Ezt megoldani, amennyire lehet:

a^2-2ad+d^2 + a^2 = a^2 + 2ad + d^2

a^2 = 4ad

Mivel a>0, ezért oszthatunk vele.

a = 4d

Ebből a derékszögű háromszög oldalai: 3d,4d,5d

Tehát valóban az egyenletből kijött, hogy a 3-4-5 oldalúhoz hasonló bármely derékszügű háromszög megfelelő. De nem a hasamra ütöttem, hanem kiszámoltam, és kijött, hogy tényleg nincs más.

Ezekre az oldalakra egy sin vagy cos szögfüggvénnyel számolhatóak a szögek.