Bontsa fel a v(-8;-18) vektort az a(-4;2) és b(1;-8) vektorokkal párhuzamos összetevőkre. Melyek az összrtő vektorok koordinátái?

Geometriai jellegű megoldás: felrajzolod a koordináta-rendszerben a v vektort, majd a v vektor végpontjain keresztül párhuzamos egyeneseket rajzolsz az a és b vektorokkal, ezáltal a v vektor "körül" egy paralelogramma keletkezik. Ezek az egyenesek két pontban fogják metszeni egymást (a vektor végpontjait leszámítva). Ha a v vektor kezdőpontjából vektorokat húzol ezekbe a metszéspontokba, akkor megkapod a keresett vektorokat. Ha szerencséd van, a vektorok koordinátáit meg tudod határozni pontosan, rosszabb esetben csak kerekítőleg, utóbbi esetekre van az algebrai megoldás;

Amikor két vektort összeadunk, akkor az eredmény szintén egy vektor lesz. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a két vektor az eredményül kapott vektornak a komponensei. Már csak az a kérdés, hogy milyen vektorokat kell összeadnunk.

Ha az eredeti vektorokkal párhuzamosan szeretnénk maradni, akkor csak skalárral (számmal) szabad őket szorozni, ezzel csak hosszaik változnak, irányaik nem. Ezeket a számokat sajnos (még) nem tudjuk, ezért ezek legyenek c és d (bármilyen másik jelölés is lehet), ekkor a két vektorunk c*(-4;2) és d*(1;-8), ezek összege kellene, hogy a (-8;-18) vektort adják ki:

c*(-4;2) + d*(1;-8) = (-8;-18), a szorzást tagonként megtehetjük:

(-4c ; 2c) + (d ; -8d) = (-8 ; -18), vektorok összeadásakor az azonos helyen lévő vektorokat összeadjuk:

(-4c+d ; 2c-8d) = (-8 ; -18)

Két vektor akkor és csak akkor egyenlő, hogyha az azonos helyen álló koordináták mind megegyeznek, ennek megfelelően:

-4c+d = -8

2c-8d = -18

Ez pedig egy kétismeretlenes egyenletrendszer, amit meg kell tudnunk oldani. Érdemes az első egyenletet 2-vel szorozni:

-4c+d = -8

4c-16 = -36, majd a két egyenletet össze lehet adni, így c kiesik:

-15d = -44, erre d = 44/15 adódik.

Mivel ilyen "csúnya" szám jött ki d-re, ezért c értékét is hasonló módon érdemes számolni; szorozzuk az eredeti felállásban az első egyenletet 8-cal:

-32c+8d = -64

2c-8d = -18, majd a két egyenletet összeadva d kiesik:

-30c = -82, erre c = 82/30 = 41/15 adódik.

Tehát a két keresett vektor:

41/15 * (-4;2) = (-164/15 ; 82/15)

44/15 * (1;-8) = (44/15 ; -352/15), ellenőrzésként ha a két vektort összeadod, akkor pont a v vektort fogod megkapni.