Egy szám 11-gyel való osztási maradéka 2, és 7-tel való osztási maradéka 3. Hány olyan 2023-nál kisebb n term. szám van, amelyre fennáll az adott feltétel?

Ha egy szám 11-gyel való osztási maradéka 2, akkor a szám felírható 11k+2 alakban, ahol k egész.

Ha ennek a számnak a 7-tel vett osztási maradéka 3, akkor 3-at levonva belőle egy 7-tel osztható számot kell kapnunk, tehát (11k+2-3)/7, vagyis (11k-1)/7 egy egész szám kell, hogy legyen.

Kicsit át tudjuk alakítani, hogy kisebb számokkal kelljen számolnunk;

(11k-1)/7 = (7k + 4k - 1)/7 = 7k/7 + (4k-1)/7 = k + (4k-1)/7

Itt már csak (4k-1)/7-re kell koncentrálnunk.

Megtehetjük azt, hogy k helyére 1-től kezdve egész számokat írunk, és azt tapasztaljuk, hogy k=2 esetén egész eredményt kapunk, a következőt k=9 esetén fogjuk megkapni, aztán k=16 esetén, és így tovább. Általánosságban elmondható, hogy ha k=7s+2 alakú, ahol s egész, akkor és csak akkor a tört értéke egész lesz. Ezt algebrailag le is tudjuk vezetni, csak k helyére 7s+2-t kell írnunk:

(4*(7s+2)-1)/7 = (28s+8-1)/7 = (28s+7)/7 = 4s+1, ami valóban egy egész szám.

Az eredeti számunk 11k+2 alakú volt, itt is beírjuk k helyére a 7s+2-t:

11*(7s+2)+2 = 77s+22+2 = 77s+24, a kérdés már csak az, hogy ez mikor esik 0 és 2023 közé.