Hány féle lehetséges felállása van a focicsapatnak?

Ha h darab hátvédet, k darab középpályást és t darab támadót választunk ki, akkor azt

(10 alatt a h) * (10-h alatt a k) * (10-h-k alatt a t)

-féleképpen tudjuk megtenni. A következő lépés, hogy h;k;t értékeit megválasztjuk az összes lehetséges módon (olyan esetek kellenek, amikor ezek összege 10, és mindegyikük nemnegatív egész), majd az így kapott értékeket összeadjuk.

Hogy a számhármas megválasztására mennyi lehetőségünk van, azt az ismétléses kombinációval tudjuk számolni; (12 alatt a 2)=66, tehát 66-féle nemnegatív egész számhármast tudunk úgy meghatározni, hogy összegük 10 legyen. Tehát ha egyesével végigmennénk az eseteken, akkor a végén egy 66-tagú összeget kellene kiszámolnunk.

A csoportokat csoportokba tudjuk aszerint rendezni, hogy azonos számokat tartalmaznak-e; például mindegy, hogy 2;3;5-nek vagy 3;5;2-nek választjuk a számokat, a fenti eredménye ugyanannyi lesz. Ebben az esetben az eredményt elég csak annyival szorozni, ahányféleképpen a számokat egymás mellé tudjuk tenni; ha 3 különböző számunk van, mint ahogy a példában is volt, azokat 3!=6-féleképpen tudjuk egymás mellé tenni, emiatt nekünk a fenti szorzatot elég csak 6-tal megszoroznunk, ha pedig két azonos van, mint például a 0;0;10-nél, akkor pedig 3-féleképpen tudjuk a számokat egymás mellé pakolni, tehát a szorzatot ennyivel kell megszoroznunk. Ezt ismerve egy kicsit könnyebben tudunk számolni.

Innentől igazából csak annyi a dolgunk, hogy a számhármasokat úgy szedjük össze, hogy a számok növekvő (nem csökkenő) sorrendben vannak (erre azért van szükség, mert ez garantálja nekünk azt, hogy bármelyik két számhármas legalább egy számban eltér egymástól), és az azok behelyettesítése után kapott eredményt 3-mal vagy 6-tal kell szorozunk aszerint, hogy három különböző, vagy két azonos számot tartalmaz-e;

-Ha az első szám 0, akkor a középső legfeljebb 5 lehet:

0;0;10, 0;1;9, 0;2;8, 0;3;7, 0;4;6, 0;5;5

-Ha az első szám 1, akkor a középső legfeljebb 4 lehet:

1;1;8, 1;2;7, 1;3;6, 1;4;5

-Ha az első szám 2, akkor a középső legfeljebb 4 lehet:

2;2;6, 2;3;5, 2;4;4

-Ha az első szám 3, akkor a középső legfeljebb 3 lehet:

3;3;4

-Ha az első szám 4, akkor a legkisebb szóba jöhető számhármas a 4;4;4 lenne, viszont a számok összege itt 12, ez pedig már túl sok, nagyobb szám esetén ez az összeg még nagyobb lesz, tehát összeszedtük az összes olyan lehetőséget, ahol növekvő sorrendben vannak a számhármas számai, innentől már csak a leírtak szerint kell kalkulálni.

Így a 66-ról le tudtuk csökkenteni 14-re a behelyettesítéssel kiszámítandó tagok számát, ami azért egy kicsit jobb.

Ennél jobb megoldási mód nem hiszem, hogy van a feladatra.

Nem hiszem, hogy a feladat kitalálója ilyen sok számolásra gondolt. Inkább csak arról van szó, hogy az edző csapatfelállást akar választani és a játékosokat egyelőre egyformának tekinti.

A 10 játékos egysorba áll és két bójával 3 csoportra osztjuk őket. Az első bóját 11, a másodikt 12 helyre tudjuk lerakni és egymással felcserélhetőek. A csapatstratégiák száma 11*12/2