Mennyi a k értéke, hogy minden valós számra igaz legyen: kx2-6x+( k2+k+9)/k<0 ?

-A k értéke nem lehet 0.

-Ha k>0, akkor k pozitív, így gond nélkül szorozhatunk vele:

k^2*x^2 - 6k*x + k^2 + k + 9 < 0

Mivel k^2 biztosan pozitív, ezért a bal oldalon lévő másodfokú függvény képe egy "rendes állású" parabola (amilyen a sima x^2 függvény képe), ennek pedig mindig biztosan lesz olyan értéke, amelyik nagyobb 0-nál, így itt nincs megoldás.

-Ha k<0, akkor a nevezővel szorozva a relációs jel megfordul:

k^2*x^2 - 6k*x + k^2 + k + 9 > 0

Lehet diszkriminánsvizsgálattal is számolni, azonban van egyszerűbb mód is; tudjuk, hogy az ax^2+bx+c alakú másodfokú függvénynek, ahol a>0, minimumhelye x=-b/2a, esetünkben b=-6k, a=k^2, emiatt az eredeti függvénynek az x=-(-6k)/(2k^2), egyszerűsítés után az x=3/k helyen lesz minimuma. nekünk azt kell elérnünk, hogy erre a helyettesítési értékre pozitívat kapjunk, vagyis:

k^2*(3/k)^2 - 6k*(3/k) + k^2 + k + 9 > 0

egyenlőtlenséget kell megoldanunk a k<0 halmazon. Szemlátomást ez egy másodfokú egyenlőtlenség lesz k-ra, amit könnyedén meg lehet oldani.