Hogyan kellene megoldani az egyenletrendszert?

Vannak olyan egyenletrendszerek, ahol nehéz rájönni, hogy merre érdemes elindulni, hogyha nem ismerünk algebrai azonosságokat.

Az első egyenletnél vegyük észre, hogy át tudunk így alakítani; az

a^2 - b^2 = (a+b)*(a-b)

azonosság szerint ezt tudjuk felírni:

(x+y)*(x-y) + x-y = 10, majd itt ki tudunk emelni (x-y)-t:

(x-y)*(x+y+1) = 10

A második egyenletnél is valami hasonlóban érdemes gondolkodni; azt vehetjük észre, hogy az első két és a második két tagból ha kiemelünk:

x^2*(x-y) - y^2*(x-y) = 16, akkor itt is ki tudunk emelni (x-y)-t:

(x-y)*(x^2-y^2) = 16, illetve ezt is bontsuk tovább:

(x-y)*(x-y)*(x+y) = 16

Észrevehetjük, hogy a két egyenletben x-y és x+y található. Megtehetjük azt, hogy ezekre bevezetünk egy-egy új ismeretlent; legyen x-y=p és x+y=q, ekkor az egyenletrendszer így fog alakulni:

p*(q+1) = 10

p^2*q = 16

Ha p^2=0, vagyis p=0, akkor nincs megoldás, ezért oszthatunk p^2-tel:

q = 16/p^2, és ezt behelyettesítjük q helyére az első egyenletben:

p*(16/p^2 +1) = 10, vagyis

16/p + p = 10, innen p-vel felszorzás után egy másodfokú egyenletet fogunk kapni p-re.

Innen be tudod fejezni?