Egy dobozban 4 db fehér és 6 db fekete golyó van.Találomra húzunk egy egy golyót, amíg fehéret nem kapunk.A húzott golyókat nem tesszük vissza. Határozzuk meg a kihúzott golyók számának várható értékét!?

A várható érték gyakorlatilag egy átlag; minden esetet megvizsgálunk, minden esethez egyértelműen társítható egy számadat (hogy mikor húzunk először fehéret), és ezen számoknak vesszük az átlagát, vagyis osztjuk az "összes esettel".

Ha így számolunk, akkor önmagában nem elég azokat az eseteket vizsgálni, amikor csak az első fehérig húzunk, ugyanis akkor az elemi esetek valószínűsége el fog térni. Ehelyett egy kicsit átírjuk a játékszabályokat; az összes golyót egyesével kihúzzuk, majd UTÓLAG nézzük azt meg, hogy mikor húztunk elsőre fehéret. Innentől már csak az eseteken kell végigmennünk;

-1.-re fehéret húzunk: 4*9! = 1.451.520

-2.-ra fehéret húzunk: 6*4*8! = 967.680

-3.-ra fehéret húzunk: 6*5*4*7! = 604.800

-4.-re fehéret húzunk: 6*5*4*4*6! = 345.600

-5.-re fehéret húzunk: 6*5*4*3*4*5! = 172.800

-6.-ra fehéret húzunk: 6*5*4*3*2*4*4! = 69.120

-7.-re fehéret húzunk: 6*5*4*3*2*1*4*3! = 17.280

Magasabb sorszámú helyre nem tudunk fehéret húzni, mert nincs elég fekete golyó.

Az összes eset 10! = 3.628.800. Ha összeadod a kiszámolt eseteket, akkor pont ennyit fogsz kapni, tehát jól számoltunk.

Most jön az, hogy az esetekhez társított számértékek átlagát vesszük. Tehát van nekünk 1.451.520 darab 1-esünk, 967.680 darab 2-esünk, 604.800 darab 3-asunk, stb. Értelemszerűen ezt az összeget egyszerűbb úgy kiszámolni, hogy a számokat összeszorozzuk a darabszámokkal;

1.451.520*1 + 967.680*2 + 604.800*3 + 345.600*4 + 172.800*5 + 69.120*6 + 17.280*7 = 7.983.360, és ezt osztjuk az összes esettel;

7.983.360/3.628.800 = 2,2

Tehát a várható érték 2,2. Mivel az egész számok közül a 2-höz van a legközelebb, ezért ez azt jelenti, hogy várhatóan a második húzásra fogunk fehéret húzni.

Elsőre fehér: 4/10

Másodikra fehér: 6/10*4/9 = 4/15

Harmadikra fehér: 6/10*5/9*4/8 = 1/6

Negyedikre fehér: 6/10*5/9*4/8*4/7 = 2/21

Ötödikre: 6/10*5/9*4/8*3/7*4/6 = 1/21

Hatodikra: 6/10*5/9*4/8*3/7*2/6*4/5 = 2/105

Hetedikre, nyolcadikra, kilencedikre, tizedikre: 6/10*5/9*4/8*3/7*2/6*1/5*1 = 1/210

A várható érték:

1*4/10+2*4/15+3*1/6+4*2/21+5*1/21+6*2/105+(7+8+9+10)*1/210 = 2.33

Ha nem számoltam el valahol.

A 3-as válaszoló megoldása feleslegesen bonyolult, és a helyessége is kérdéses

"Ha nem számoltam el valahol.

A 3-as válaszoló megoldása feleslegesen bonyolult, és a helyessége is kérdéses"

Mondod ezt úgy, hogy a saját válaszodban sem vagy biztos... Annyira azért nem lehet rossz a számításom, ha nagyságrendileg ugyanaz jött ki, mint neked (feltételezve, hogy a tiéd jó).

Kezdjük ott, hogy én próbáltam megértetni a kérdezővel, hogy a várható érték pontosan mit is takar. Aztán ennek megfelelően számoltam. Olyan pedig, hogy "feleslegesen bonyolult" számítás, nem létezik, még pedig azért nem, mert ez a DEFINÍCIÓ SZERINTI számítás (meg egyébként is; nem árt, ha egy dolgot többféle módon ki tudunk számolni). Hogy egyébként lehet kicsit egyszerűbben is számolni, az egy másik kérdés, de azt is csak azért tehetjük meg, mert EBBŐL a számításból tudjuk egyszerűbben levezetni a dolgokat.

Nézd meg egy adott számításnál, hogy miért lehet úgy számolni, ahogy te levezetted; ha azt nézzük, hogy mekkora a valószínűsége, hogy 3.-ra húzunk először fehéret;

A te számításoddal:

6/10 * 5/9 * 4/8

Az én számításommal:

(6*5*4*7!)/10! = (6*5*4*7*6*5*4*3*2*1)/(10*9*8*7*6*5*4*3*2*1) = (6*5*4)/(10*9*8) = 6/10 * 5/9 * 4/8

Láthatod, hogy teljesen ugyanazt adja mindkettő eredménynek. És ez az összes többinél is ugyanazt jelenti.

Azt viszont elárulhatnád, hogy neked hogy a francba jön ki 1/210 valószínűség arra, hogy nyolcadikra, kilencedikre, tizedikre húzol fehéret először...