Egy 10 cm élű kocka egyik alapélén át fektessünk olyan síkot amely az alaplappal 30 fokos szöget zár be. Mekkora térfogatú részekre vágja szét a sík ezt a kockát? Mekkora lesz a keletkező testek felszíne?

Szia ha jól értelmeztem a feladatot akkor oldalnézetből igy néz ki a dolog:

[link]

szóval oldalnézetben vagyunk, igy a kapott háromszög oldalait szögfügvényel kiszámolhatjuk:

szinusz60fok=a/c -> sin60*c=10 -> c= 11.547

mivel 30, 60, 90 fokos háromszögben vagyunk, igy 30 fokkal szemközti befogó fele az átfogónak, tehát

a=10, b=5.7735 c=11.547.

Most térjünk át térbe:

A sík a kockából levág egy négyszög alapú gúlát, és egy másik négyszög alakú csonka gúlát.

Gúla térfogata: T alap*magasság/3

az alap területe: b*a, a magasság is a:

a térfogat: 192.45 köbcenti.

A csonka gúla térfogata: V=[(T+gyökTt+t)m]/3

T=a*a, t=(a-b)a, m=10

V=551.023

Ha jól értelmeztem a feladatot akkor ezek a térfogatok, ha nem akkor bocsi :$

Ja a felszint elfelejtettem, arra képlet külön nincs, az oldalakat ki kell számolni:

A gúlánál: az alap:b*a, két háromszög alakú oldal: a*b/2 *2=

a*b, van egy a*a oldala, van még egy c*a oldala is.

Összesen: 2*b*a+a*a+c*a=330.94 négyzet cm.

A csonka gúla felszine: 2*a*a+ a trapézok területe ugye (alap1+alap2)m/2 -> (a+(a-b))m/2 kétszer -> (2a-b)a mert m=a, van még a teteje: a(a-b)

Összesen: 2*a*a+ (2a-b)a+ a(a-b) = 384.53 négyzetcm

Ha jól értelmeztem a feladatot akkor pedig ezek a felszínek.

Nem mindennel értek egyet az első válaszolóval. :-)

A levezetésben swallow válaszában közölt ábrára hivatkozom.

Adott

a = 10 - a kocka élhossza

α = 30° - a metszősík és az alap közti szög

V1; V2 = ? - a két rész térfogata

F1; F2 = ? - a két rész felszíne

A megoldáshoz elég a 'b' oldal meghatározása, annak ismeretében minden kérdésre válaszolni lehet.

Az a-b-c oldalakkal határolt háromszög egy 'c' oldalú egyenlő oldalú háromszög fele, melynek magassága 'a', ebből a jól ismert összefüggés alapján

b = a/√3 ill.

b = (a/√3)/3

Szintén az egyenlő oldalú háromszög tulajdonsága miatt

c = 2b

A térfogatok

A metszősík egy háromszög- és egy trapéz alapú hasábbá (nem gúlává) bontja a kockát.

Ha az a-b-c háromszög területe T1, a hozzátartózó térfogat V1, akkor

V1 = T1*a

T1 = a*b/2 =[a*(a/√3)/3]/2

T1 = a²√3/6

V1 = a³√3/6

A másik hasáb térfogata

V2 = a³ - V1

V2 = a³(1 - a³√3/6)

Értékek

V1 = 288,675... cm³

V2 = 711,324... cm³

===============

A felszínek

A metszősík területe

Tc = c*a

a 'b' oldalhoz tartozó sík

Tb = b*a

A háromszög alapú hasáb felszíne

F1 = 2*T1 + Tb + Tc + a²

F1 = 2*(a²√3)/6 + b*a + c*a + a² =

F1 = 2*(a²√3)/6 + a(b + c) + a²

c = 2b

F1 = 2*(a²√3)/6 + 3*a*b + a²

b = a√3/3

Behelyettesítés, összevonás után

F1 = 4a²*√3/3+ a²

vagy kiemelés után

F1 = (4*a²√3 + 3)/3

A nagyobbik hasáb felszínét a következő meggondolással is meg lehet kapni.

A kettévágással keletkezett testek össz felszíne a vágási sík kétszeresével nagyobb a kocka felszínénél.

Vagyis

F1 + F2 = 6a² + 2*Tc

ebből

F2 = 6a² + 2*Tc - F1

Tc = c*a = 2*b*a

Tc = 2a²√3/3

F1 = 4a²*√3/3+ a²

ezekkel

F2 = 6a² + 4a²√3)/3 - 4a²*√3/3 - a²

F2 = 5*a²

Értékek

F1 =330,94... cm ²

F2 = 500 cm ²

===========

DeeDee

**********

Valóban nem írtam h V1,V2 helyette azt írtam, h gúla térfogat és csonka gúla térfogat, elnézést.

A felszínt pedig A-val jelöljük ha már ennyire belemegyünk a részletekbe.