Geometriai feladatok, mi a megoldás?

1 Ha a kiálló részt levágod kapsz egy derékszögű 3-szöget, aminek a 2 oldala 2a és a, a3 oldal ( amit ha a-hoz hozzáadunk megkapjuk a trapéz 4.oldalát )x=a*gyök3

(Pitagorasz tétel x^2+a^2=4a^2 )

igy a 4.oldal a(1+gyök3)

a szög az előző háromszög a egyik szöge +90 fok a háromszög szögére cosy=a/2a=0,5 a=60 fok a trapéz legnagyobb szöge 150fok

2 Egy szabályos hétszög kerülete 140cm. Mekkora egy belső szöge, hány átlója van összesen, és mekkora a legrövidebb átlója?

belső szög : a középpontból a cscsúcsok alkota háromszögegeket nézve 2a+b=180 ahol a a belső szög fele

és 7*b=360 innen

2a+360/7=180

2a=128,57 fok ez a belső szög

átlók száma : n*(n-3)/2 ahol n a csúcsok száma =14

a legrovidebb átló és az oldalak egyenlőszárú háromszöget adnak, aminek a két oldala 140/7=20 cm

a két oldal által bezárt szöget az előbb kiszámoltuk

ennek a szögnek a fele legyen a ekkor sin a=y/20, ahol y az átló fele

y=20* sina

y=18,02

az átló hossza 36,14 cm - a legrövidebb

Egy 20 cm sugarú kör két párhuzamos húrja 12cm és 30 cm. Számítsd ki a húrok távolságát! Hány megoldás van?

A húrokra felezőmerőlegest állítunk : derékszögű 3-szögeket kapunk a a kör középpontja a húrok és a körvonal találkozási pontja és a húrok felezőpontjának felhasználásával

az egyik húr kp-tól mért távolsága x, a másik y

a két 3-szögre Pitagorasz tétel

400=x^2+6^2 és 400=y^2+100

keressük x+y-t

x^2=364 y^2=300

x+y=19,08+17,32= 36,4 cm a távolságuk

ebből úgy tűnik hogy egyetlen megoldás van mert x és y nem lehet negatív

4. Egy szimmetrikus trapéz alapjai 10 cm és 16 cm, a trapéz kerülete 36 cm. Mekkorák a trapéz szögei és a területe.

Ha szimmetrikus, akkor a két hiányzó oldal ugyanakkora

Kerület = 10+16+2x =36

2x=10

x=5 azaz a hiányzó oldalak hossza 5 cm

A magasság ha a felső csúcsból húzzuk a magasságvonalat

derékszögű 3-szöget kapunk : oldalak m, (16-10)/2, és 5

25=m^2+9

m^2=16

m=4

terület T=m*(10+16)/2=52 cm^2

szögek két két ugyanakkora szöge van (szimmetrikus )

az alapon lévő a

sin a= 4/5 a=53,13 fok

egy négyszög belső szögeinek összege 360 fok

igy ha a felső szög b

2a+2b=360 igy b=126,87 fok

[link]

egy kis magyarázó rajz

A 3. feladathoz

Mivel a két húr egy átmérő alatt és felett is meghúzható, a feladatnak két megoldása van.

Ha az átmérőtől mért nagyobbik távolság x, kisebbik y, akkor a köztük levő távolság (d)

d1 = x - y

d2 = x + y

DeeDee

*********