Mi a megoldása ezeknek a matek feladatoknak?

4. feladat

Egy derékszögű háromszög átfogójának és a hozzá tartozó magasságának aránya 4:1. Hogyan aránylanak egymáshoz a derékszögű háromszög hegyesszögei??

Mivel számszerű adat nincs, a szögek aránya helyett a szinusz tételből adódóan a szinuszainak arányát lehet meghatározni.

Legyen

a - a háromszög rövidebb

b - a háromszög hosszabb oldala

c - az átfogója

m - az átfogóhoz tartozó magasság

A feladat szerint

m/c = 1/4

ill.

(F) c = 4m

A szinusz tétel szerint

sinα/sinß = a/b

Így a feladat a két befogó meghatározása az adott feltételekkel

Kiindulni az

m = a*b/c

összefüggésből lehet. Mindkét oldalt 'c'-vel szorozva

m*c = a*b

Mindkét oldalt négyzetre emelve

m²c² = a²b²

Az a² + b² = c²

összefüggésből b²-et behelyettesítve az előző egyenletbe

m²c² = a²(c² - a²)

Zárójel felbontás és rendezés után

0 = a^4 - a²c +m²c²

az

a² = k

helyettesítéssel a

0 = k² - k*c + m*c²

egyenlet adódik, melynek gyökei

k1 = [c² + √(c²(c² - 4m²))]/2

k2 = [c² - √(c²(c² - 4m²))]/2

A diszkrimináns

D = c²(c² - 4m²)

A (F) alapján

D = 16m²(16m² - 4m²)

D = 16m²*4m²*3

√D = 8m²*√3

Ezzel

k1 = (16m² + √D)/2

k1 = (16m² + 8m²*√3)/2

k1 = 4m²(2 + √3)

ennek mintájára

k2 = 4m²(2 - √3)

A helyettesítés miatt

a = √k2

a = 2m(2 - √3)

b = √k1

b = 2m(2 + √3)

Ezek után a keresett arány

a/b = (2 - √3)/(2 + √3)

Gyöktelenítve a jobb oldali kifejezést

a/b = √(7 - 4√3)

============

A magasságnak értéket adva, az oldalak és a szögek is számíthatók.

DeeDee

*************

1., a., részfeladatok: a 3 kapus közül hányféleképpen választhat ki 1 kapust? A 6 hátvéd közül hányféleképpen lehet 4et kiválasztani? stb.

Ha ez megvan, akkor arra kell rájönni (azaz valószínűleg csak visszanézni az órai jegyzetből), hogy ha külön-külön X féleképpen tudunk az összes kapus közül 1 kapust kiválasztani, Y féleképpen 4 darabot a hátvédek közül, stb., akkor az összes játékos közül hányféleképpen tudunk kiválasztani egy csapatra valót.

b., nézd meg, hogy milyen módokon jöhet össze a legalább 40 pont (pl. mind a 15 meccset nyerik, az 45 pont. Ha 14 et nyernek, és a egy döntetlen, az 43 pont, stb., nincs olyan sok eset), és minden esetre nézd meg, hányféleképpen jöhet ki (pl. 15 győzelem az csak 1 féleképpen, 14 győzelem és egy döntetlen 15 féleképpen - bármelyik meccs lehet a döntetlen, a többi győzelem -, stb). Ezeket aztán add össze.

4., ehhez rajzolgatni kéne, ami itt macerás lenne, annyi segítséget adok, hogy Thalesz-tételt használva kijön, ennek segítségével meg tudod szerkeszteni a derékszög helyét (ha az átfogód 4 egységnek veszed, akkor a derékszög egyrészt tőle egy egység távolságra van, mert ennyi a magasság, másrészt meg rajta van a Thalesz körön), és onnan már csak az ábrán meg kell nézni a szögeket (nevezetes szögek lesznek az ábrán, szóval semmi szögfüggvény meg ilyen nem kell).

6., érdemes valamit elnevezni egységnek, amivel a többit ki lehet aztán fejezni, hogy össze tudjuk hasonlítani a dolgokat. Legyen ez mondjuk, hogy Jerry mennyi időt tölt futással, ez legyen egység idő. Ekkor a feladat szövegéből vissza lehet bontani, hogy Tom harmadennyit, tehát 1/3 egységet tölt futással, és így tovább, a végén kijön, hogy Tom mennyi egységnyi időt töltött futással, tehát hányadrészét Jerry futással töltött idejének.

A végén még fel kell használni, hogy egyszerre érnek a cső végére, tehát ugyanannyit futottak, tehát Tom 99 NASE sebességgel futott valamennyi egység időt (ezt számoltuk ki feljebb, hogy hány egységnyit), és ugyanannyit haladt, mint Jerry, aki 1 egységnyi időt futott. Innen meg egyszerű arányosság, hogy akkor az egyetlen ismeretlen, Jerry sebessége mennyi.

Jó munkát velük, remélem innen már megy.