Hogyan határozok meg egy közelítő függvényt, ha van 3 pontom a koordináta rendszerben?

Mondott még valami a tanár? Ilyen szavakra gondolok, hogy ,,legkisebb négyzetek módszere'' vagy polinom interpoláció'' vagy ,,másodfokú polinomok'', vagy ,,lineáris'' vagy ,,polinomok''.

Sajnos nem értek a témához kiemeleten, ami meg emlékeimben van, az az, hogy

vagy ráillesztek egy alkalmas másodfokú függvényt, úgy, hogy az mind a három ponton átmenjen (erre van is egy módszer)

vagy pedig próbálok úgy behúzni egy egyenest, hogy ugyan nem feltétlenül megy át mind a három ponton (valamikor ez nem is lehetséges), de legalább a ,,lehető legjobban'' siklik el mellettük (hogy ezt milyen értelemben értjük, azt mondja meg a legkisebb négyzetek módszere, és erre is van egy módszer).

Elvileg persze sokféle dolog szóbajöhet, hogy mit is értek alkalmas, ,,közelítő függvény' alatt, szerintem ez attól is függhet, hogy mi a helyzet. Pl. egy fizikus vagy egy biológus esetleg előre sejti, hogy milyen jellegű összefüggés várható (lineáris, vagy mondjuk nem lineáris, de mondjuk másodfokú), szóval előre megfogalmazódik a fejében egy MODELL. Akkor eszerint az előzetes elvárás szerint tudja megválasztani, hogy mit is ért ,,közelítő függvény'' alatt.

Például ha az volt a szituáció, az volt a kísérlet, hogy egy golyó gurul egy teljesen sima terepen (vagy légpárnán, jégen, mágnespárnán, vagy az űrben), akkor jó okkal feltételezhetem, hogy a távolsága az egyenletesen változik az idővel. Szóval ha az a három bizonyos pont az három-három mérési adat összetartozó idő- és távolságértékekkel, akkor valószínűleg ebben a szituban lineáris összefüggést tételeznék föl, ezért egyenest próbálnék közéjük erőltetni, és minden ettől való eltérést mérési hibának tekintenék. Ezért itt a legkisebb négyzetek módszerét használnám.

[link]

sőt itt ebben a konkrét kísérletben éppen

[link]

Ha meg viszont mondjuk az a szitu, hogy a kísérlet az volt, hogy egy kútba ejtek egy követ, és radarral mérem (vagy fonállal), hogy milyen időpontokban pontosan milyen mélyen jár épp, és innen lenne az a bizonyos három pont, a három -három összetartozó idő-távolság páros, akkor itt eleve másodfokú összefüggést tételeznék fel,

[link]

ezért a három pontra képzeletben parabolát próbálnék ráilleszteni (ez lehetséges is, három (általános helyzetű, nem egy egyenesbe eső) pont mindig meghatároz egy parabolát. Ekkor valamilyen polinom interpolációt próbálnék használni, azt hiszem a Lagrange-interpolációt, legalábbis mi erről tanultunk valaha.

[link]

Tulajdonképpen sokféle előfeltételezés lehetséges elvileg, a konkrét kísérlet természetétől függően, és ezeknek megfelelően sokféle megközelítés, illetve az ezekhez tartozó módszer, nekem eddig ezek ugrottak be.

Kimaradt az utolsó bekezdésem linkje:

Itt találtam egy leírást Lagrange-interpolációról három pontra.

[link]

Ez azért jó, mert az általános eset leírása ijesztőnek tűnhetik a sok szumma- meg produktum-jellel, indexeléssel stb.

[link]

de a konkrét feladatban erre nincs szükség hiszen itt konkrétan tudjuk, hogy épp három pontra fogjuk elvégezni.

Ezért is jó, hogy pl ebben a cikkben is éppen három pontra dogozzák ki a példát:

[link]

arra a bekezdésre gondolok ami úgy kezdődik,hogy

,,For n = 3 points''

A linkek közt keresgélve mintha láttam volna valamit az exponenciális közelítésről, de nem tudom, az milyen lehet. Szerintem az is olyasvalami lehet, mint a legkisebb négyzetek módszere, vagyis hogy nem kell pontosan illeszkednie mindhárom pontnak, megelégszünk azzal az elvvel, hogy éppen valamilyen szempontból még a lehető legkevesebb legyen a hiba.

Tehát pl (1, 2), (3, 5) és (7, 12) lenne a három pont, és ez alapján próbálnám a-t mint paramétert meghatározni egy a^x alakú exponenciális függvényre. Azonban valójában már az első pont is egyértelműen meghatározza a görbét

a¹ = 2 -----> a = 2

és innentől kezdve a többi pont vagy ráillik, vagy nem. Szóval ezért úgy képzelem, hogy efféle exponenciális közelítésnél nem követelmény az, hogy mindhárom pont teljesen illeszkedjék. De valójában én nem ismerem ezt a témakört, csak megütötte a szememet keresgélés közben valami ,,exponential interpolation'' vagy ehhez hasonló.

A Lagrange-interpoláció másodfokú görbét adna három pontra, ha harmadfokú vagy más magasabbfokú közelítés kell, akkor nem tudom. Itt persze az a lényeg, amit mondtál: hogy mi valójában már TUDJUK, hogy exponenciális modellje van a szóban forgó jelenségnek (gondolom valami baktériumtelep szaporodása, vagy elbomló radioaktív anyag menyiségének vagy sugárázásának a reciproka, vagy ilyesmi), szóval ez a szempont irányítja a közelítésünket ez a modellünk. Sajnos nem értek hozzá. Ha kényszerhelyzetbe kerülnék, azt tenném mostani tudásom alapján, hogy a vagy beérném a másodfokú közelítéssel, vagy pedig a legkisebb négyzetek módszerét alkalmaznám exponenciális görbére, tehát pl (1, 2), (3, 5) és (7, 12) lenne a három pont, és a^x a közelítő exponenciális, ahol az ,a' paraméterre kéne visszakövetkeztetni az alapján az elvárás alapján, hogy a négyzetesen összegzett hiba a lehető legkisebb legyen.

(a¹ - 2)² + (a³ - 5)² + (a⁷ - 12)² minimal

itt valahogy meg lehet határozni a minimumot, és azt is, hogy az ,a' paraméter mely értékére áll elő ez a minimum

[link]

legalábbis a Wolfram Alpha meg tudta valahogy itt határozni, szerinte a ≈ 1,49921. Azt nem tudom, hogy ezt csak numerikus módszerekkel lehet-e meghatározni, vagy le is lehetne-e vezetni.

Ha az előző példámban a három pont olyan lenne, hogy tényleg rá is lehet húzni pontosan egy exponenciálist, akkor a legkisebb négyzetek módszere ezt ki is tudja adni.

Pl. most előre elhatározom, hogy a 2-alapú exponenciális legyen, akkor az 1, 3, 7 helyen az alábbi három pontunk van: (1, 2), (3, 8), (7, 127). No most nézzük, hogy ez alapján a legkisebb négyzetek módszere képes-e helyesen visszakövetkeztetni arra, hogy 2 volt az exponenciális alapja. A minimalizálandó kifejezés:

(a¹ - 2)² + (a³ - 8)² + (a⁷ - 128)²

Wolfram Alpha szerint

[link]

tényleg az a = 2 helyen van a minimumhely, ami itt egyúttal persze zérushely is, hiszen direkt eleve pontosan illeszkedő pontokat vettünk fel.

Vagyis az előző előtti példában, az (1, 2), (3, 8), (7, 127) ponthármas esetében a legkisebb négyzetek módszere hibakifejezésére (a¹ - 2)² + (a³ - 8)² + (a⁷ - 128)² a lehetséges globális minimum értéke nem érte el a nullát, 4,68573 volt

[link]

ez igazából ebben az esetben nem tűnik túl soknak, hiszen a mérés során elég nagy számok is előfordultak (127). Sajnos tényleg nem értek hozzá, valószínűleg tényleg sokat számít, hogy van-e jó okunk valamilyen modell előzetes feltételezésére (ahogy említetted is az exponenciális modellt).