Adott az f (x) =a*x^2-2a*x+3 hozzárendelési szabállyal megadott függvény. a) Hogyan válasszuk meg az a paraméter értékét, hogy a függvény grafikonja érintse az x tengelyt? b) Milyen paraméterértékek esetén lesz a függvénynek két zérushelye?

A függvényt átírjuk másik alakra, kiemelve az A paramétert:

a(x^2-2x)+3

Így már látjuk, hogy az alapfüggvény ez:

(x^2-2x)

Ez egy olyan függvény, ami -végtelentől ("mínusz végtelentől") +1-ig szig. monoton csökken X= 1 nél y= -1, ez a minimuma tehát alulról korlátos. Innen a +végtelen-ig szig. monoton nő. Bal oldalon, tehát a negatív felén a meredeksége nagyobb, mint a sima x^2 függvény, a másik oldalon laposabb, tehát egy kicsit csálé V betűről van szó. A V betű két helyen metszi az x tengelyt, 0-nál és +2-nél, azaz ez a két zérushely.

Az alapfüggvényt variálod az A faktorral és a +3 külső hozzáadással. A hozzáadás fölfelé viszi az egészet, vagyis a függvény minimuma átkerül a (+1; -1) pontból a (+1; +2) pontba, ami miatt a két zérushely megszűnik.

A külső szorzás a függvényt az y tengely irányában nyújtja (ha abszolút értéke 1-nél nagyobb) vagy tolja össze, ha 1-nél kisebb. Ha a=0, akkor a függvény értéke Y=3 lesz. Ha a paraméter negatív, akkor a V betű fejjel lefelé fordul.

Ahhoz, hogy a függvény 1 pontban érintse az x tengelyt, az kell, hogy a minimumánál vegye fel a 0 értéket. A minimum ugyanott van, ahol az alapfüggvénynél (x=1), így ezzel az értékkel kell behelyettesíteni a képletbe és 0-ra rendezni:

a(1^2-2*1)+3 = 0

a = 3

Ha a > 3, akkor két zérushelyed lesz.

Vagyis a = (0; 3) intervallumban 0, a = 3 esetén 1, a > 3 esetén 2 zérushely van.

Ha a értéke negatív (a < 0), akkor a V betű lefordul, a függvénynek maximuma lesz (X=1-nél) és mindenképpen két zérushely lesz.