Hogyan oldjam meg az alábbi feladatokat?

Nem per (/) jel kell az legyen, hanem függőleges vonal (|), azt jelenti, hogy "osztója".

Feladat: 5 | 2^(4n+1) + 3

Teljes indukcióval:

Én szeretem icipicit máshogy csinálni a teljes indukciós bizonyítást, mint ahogy a tanárod mutatta, de csupán annyi a különbség, hogy bevezetek egy külön k változót. Majd meglátod... Számomra így kicsit érthetőbb a gondolatmenet, remélem, számodra is.

Szóval a bizonyítás 3 lépése:

1) n=1-re 2^(4+1)+3 = 32+3 tényleg osztható 5-tel.

2) Feltesszük, hogy n=k-ra igaz a tétel, tehát igaz az, hogy:

2^(4k+1)+3 osztható 5-tel.

Ezt felírhatjuk úgy, hogy

2^(4k+1)+3 = 5m

ahol m egész szám.

3) Nézzük meg, mi a helyzet n=(k+1)-re:

Aminek az oszthatóságát vizsgálnunk kell, az ez a kifejezés:

2^(4(k+1)+1)+3

2^(4k+4+1)+3

Az a célunk, hogy az n=k-hoz tartozó kifejezést megtaláljuk ebben a k+1-esben, vagyis 2^(4k+1)+3 valahogy bele kell kerüljön:

2^(4k+1)·2^4+3

16·2^(4k+1)+3

15·2^(4k+1)+2^(4k+1)+3

Sikerült, a kifejezés vége most ugyanúgy néz ki, mint n=k esetén. Írjuk be a helyére az 5m-et:

15·2^(4k+1)+5m

A kifejezés mindkét tagja osztható 5-tel, vagyis beláttuk, hogy n=k+1-re is igaz a tétel, ha k-ra igaz volt.

A teljes indukció miatt ez azt jelenti, hogy bármilyen n természtese számra igaz.

A körös feladat:

O(1,4) & erinto: x+y=10

A kor egyenlete (x-1)^2 + (y-4)^2 = R^2

tehat csak R-et kell meghatarozni.

Mi a metszespontja az erintovel?

Ezt ugy lehet meghatarozni, hogy megoldjuk a kor egyenletebol es az erinto egyenletebol allo egyenletrendszert.

Mivel erinto eseten csak egy metszespont van, ugy kell majd az R-et megvalasztani, hogy csak egy megoldasunk legyen metszetre.

fejezzuk ki mondjuk x-et az erinto egyenletebol:

x=10-y

Helyettesitsuk a kor egyenletebe:

(y-10-1)^2 + (y-4)^2 = R^2

y^2 - 22y + 121 + y^2 - 8y +16 -R^2 = 0

2y^2 -30y +137 -R^2 = 0

Ez egy masodfoku egyenlet, aminek akkor van 1 megoldasa,

ha a megoldokepletben a gyokjel alatt pont 0 all.

Nezzuk mi van a gyok jel alatt a megoldokepletben:

30^2 -4*2*(137-R^2)

Ennek 0-nak kell lennie.

900 - 1096 + 8R^2 =0

-196 +8R^2 = 0

8R^2=196

R^2= 49/2

R-et nem kell kiszamolni, a feladat nem keri.

Tehat a kor egyenlete:

(x-1)^2 + (y-4)^2 = 49-2

2.b feladat:

hatvanyos jellegu, ilyenkor celszeru amit lehet ugyanannak az alapnak a hatvanyakent kifejezni.

Mivel a 25 is az 5 is 5-nek hatvanya, az jonak tunik.

Tobb fele modon is fel lehetne irni az elso tagot:

25^x =(5^2)^x = 5^(2x)=(5^x)^2

Ebbol a legjobb (5^x)^2, mivel a kovetkezo tagban is 5^x szerepel.

Ilyenkor lehet pl azt csinalni, hogy uj jelolest vezetsz be:

y=5^x

Akkor ezek utan az egyenlet ugy fog kinezni, hogy:

y^2-30y+125=0

(y-5)(y-25)=0

Ket megoldas van:

y=5, ekkor x=1, mert 5^1=5

y=25, ekkor x=2, mert 5^2=25.

Másik feladat:

120 | n⁵-5n³+4n

1) n=1-re: 1-5+4 = 0, tényleg osztható 120-szal.

2) Feltesszük, hogy n=k-ra igaz:

120 | k⁵-5k³+4k

ami másképp írva azt jelenti, hogy:

k⁵-5k³+4k = 120m

3) Nézzük n=(k+1)-et:

A kifejezés:

(k+1)⁵-5(k+1)³+4(k+1)

Fejtsük ki a hatványokat:

(k⁵+5k⁴+10k³+10k²+5k+1) - 5(k³+3k²+3k+1) + 4k + 4

zárójelfelbontás, kis átrendezés: (átrendezés közben figyeltem arra, hogy az n=k-hoz tartozó kifejezés "előjöjjön")

k⁵-5k³+4k + 5k⁴+ 10k³ + 10k²-15k² + 5k-15k + 1-5+4

Az elején éppen az n=k-hoz tartozó van, ami 120m. Már csak a többiről kell belátni, hogy osztható 120-szal. A többi összevonva:

5k⁴+10k³-5k²-10k

Ki lehet emelni 5k-t:

5k(k³+2k²-k-2)

Most itt a zárójeles tényezőt kell nézegetni és próbálgatni, rájön az ember jó esetben, hogy a (k+2)-vel érdemes valamit kezdeni benne:

5k(k²(k+2)-(k+2))

Igen, érdemes volt így átalakítani, már látszik, hogy ki lehet emelni belőle (k+2)-őt:

5k(k+2)(k²-1)

A k²-1 az már gyerekjáték:

5k(k+2)(k+1)(k-1)

(k-1), k, (k+1) meg (k+2) négy egymást követő szám. Ezek között tuti van 2-vel osztható, ráadásul kettő is, amiből az egyik nem is csak 2-vel, hanem 4-gyel is osztható, és természetesen van köztük 3-mal osztható is. Az 5-tel együtt a teljes szorzat osztható 2·3·4·5-tel, ami 120.

Kész.

A logaritmusos problemak:

az egyik oldal egy log a masik meg nem. Nyilvan a logaritmust el kellene tuntetni, hogy valahogy az ismeretlent ki lehessen szabaditani belole.

Mivel mindket oldal ugyanaz, ezert:

x^( log(x)(4x^2-3x) ) = x^3

a logaritmus definiciojat hasznalva a baloldalon a logaritmustol meg lehet szabadulni:

4x^2 -3x = x^3

Atrendezve:

x^3 - 4x^2 +3x =0

x-et kiemelve:

x(x^2-4x+3)=0

x=0 nem lehet, mert a feladatban x a logaritmus alapja volt. Ezert mindket oldalt lehet x-szel osztani.

x^2-4x+3=0

Szorzatta irva:

(x-3)(x-1)=0

Vagyis x=3 az egyik megooldas mint visszahelyettesitve latszik,

a masik meg x=1 lenne, csakhogy x a logaritmus alapja volt, theat ez megintcsak nem megoldas.

A masodik feladatban nem x lesz a hatvanyozas alapja, hanem 1/5 mert a feladatban 1/5 a logaritmus alapja.

A modszer ugyanaz. A hatvanyozas utan a > relacio a ket oldal kozott megfordul, mivel a hatvanyozas az egy monoton csokkeno fuggvenye egy 0 es 1 kozotti szamnak. Ha a logaritmus alapja nagyobb lett volna 1-nel, akkor megmaradt volna ugyanolyannak.

4x + 3 < 1/25

4x < -74/25

x < -74/100

Itt arra meg vigyazni kell, hogy a logaritmust csak pozitiv szamokra tudod elvegezni, vagyis 4x+3>0 kell, hogy legyen, vagyis x>-75/100

A kettobol egyutt az adodik, hogy

-0,75 < x < -0,74

bongolo, ket kep van a linknel, en az elsore valaszoltam, te a masodikra.

Minden OK (mar amennyiben jol oldottuk meg oket)

Kiegeszites.

A=(n^2+5)n az egyreszt mindig paros, mert n es n^2 paritasa ugyanaz, n es n^2+5 paritasa tehat kulonbozo, vagyik egyik paros masik paratlan. Egy paros es egy paratlan szam szorzata mindig paros.

Tehat csak azt kell bizonyitani, hogy 3-mal oszthato A.

Ha n oszthato 3-mal, akkor nyilvan A is, mivel n egy szorzotenyezo benne.

Ha n nem oszthato 3-mal akkor vaggy 1 vagy -1 maradekot ad 3-mal osztva, amit ugy lehet irni, hogy valamilyen k-ra:

n=3k+-1 valamilyen k-ra.

n^2+5=(3k+-1)^2+5=9k^2 +- 6k +1 +5= 3*(3k^2 +- 2k +2),

vagyis ekkor meg az elso szorzo tenyezo lesz oszthato 3-mal, vagyis az egesz A oszthato 3-mal.

2-vel is meg 3-mal is oszthato, tehat 6-tal is.

Hu, tényleg, észre se vettem az első képet :)

Bocsánat!

A körös feladatot itt tárgyaltuk:

http://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazife..