Matek, valós számok. Segítesz? :S

Egyre hogyne lenne igaz?

Teljes indukcióval kell bebizonyítani, ha nem tudod mi az, akkor nem fog menni, ha meg tudod mi az, akkor elég egyértelműek a lépések.

n^7-1=n(n^6-1)=n((n^3)^2 -1)=n(n^3 -1)(n^3+1)=

=n(n-1)(n^2+n+1)(n^3+1)=

=n(n-1)(n^2 +n+1)(n+1)(n^2-n+1)

Na ez utobbit nezd meg mennyi maradekot ad 7-re nezve attol fuggoen, hogy n mennyi maradekot ad.

Valamelyik szorzo tenyezo mindig oszthato lesz 7-tel,

minden egyes esetben,

vagyis a teljes szorzat oszthato lesz 7-tel.

n(n-1)(n^2 +n+1)(n+1)(n^2-n+1)

Ha n oszthato 7-tel akkor a szorzat oszthato 7-tel mert n szorzo tenyezo benne.

Ha 1 maradekot ad, akkor n-1 oszthato 7-tel.

Ha 6 maradekot ad, akkor n+1 oszthato 7-tel.

Ha 2 maradekot ad, akkor n^2+n+1 fog 0 maradekot adni.

Ha 5 maradekot ad, akkor n^2-n+1 fog 0 maradekot adni

Ha 3 maradekot ad, akkor n^2-n+1 fog 0 maradekot adni.

Ha 4 maradekot ad, akkor n^2+n+1 fog 0 maradekot adni.

Ezek kozul kidolgozok neked egy esetet a tobbit is hasonloan kell megcsinalni.

Mondjuk amikor n 4 maradekot ad 7-tel osztva.

Akkor valamilyen k-ra n=7k+4. Ezt helyettesitsuk be n^2+n+1-be.

(7k+4)^2 + 7k+4 +1 = 7*7*k^2 +7*4*2*k +16 +7k +4 +1 =

=7*7k^2+ 7*8k +7k + 21 =7*(7k^2+ 9k +3)

Vagyis oszthato 7-tel.

Valojaban ha maradekosztalyokkal szamolsz, akkor a 7k-s tagokat be se kell irnod az kepletbe csak a maradekokat.

n^7 -n héttel osztható. (1 -re, 2 -re behelyettesíted.)

Teljes indukció: igaz-e (n+1) -re ?

(n+1)^7 -(n+1) = [(a+b)^n képlet a függvénytáblázatban.]

= n^7+7n^6+21n^5+35n^4+35n^3+21n^2+21n+7n+1 -n -1

Ebből n^7-n a kiindulás miatt osztható héttel, az összes többinek a szorzója 7 többszöröse, így minden tag osztható 7-tel, tehát az összeg is. (A +1-1=0)